[Risolto] Matematica parabola grafici

Ciao, Per risolvere l'esercizio sfruttiamo le informazioni di cui disponiamo.

La parabola ha vertice:

$V=(-2,-4)$

e passa per il punto $O=(0,0)$.

Troviamo l'equazione di tale parabola. L'equazione generale è: $y=ax^{2}+bx+c$

Imponiamo il passaggio per il punto O;

abbiamo: $c=0$

Le coordinate del vertice sono date da

$\left ( -\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a} \right )$; quindi dobbiamo imporre le condizioni $-\frac{b}{2a}=-2\\ $ e $-\frac{b^{2}-4ac}{4a}=-4 $

Abbiamo quindi un sistema di tre equazioni in tre incognite

$\{\begin{cases} -\frac{b}{2a}=-2\\ -\frac{b^{2}-4ac}{4a}=-4 \\ c=0 \end{cases}$

Risolvendo il sistema troviamo i valori dei parametri che individuano la parabola cercata.

$\left\{\begin{matrix} -b=-4a\\ -b^{2}+4ac=-16a \\ c=0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow \left\{\begin{matrix} b=4a\\ -\left (4a \right )^{2}=-16a \\ c=0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow  \left\{\begin{matrix} b=4a\\ -16a^{2}+16a=0 \\ c=0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow\left\{\begin{matrix} b=4a\\ 16a(a-1)=0 \\ c=0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow\left\{\begin{matrix} b=4a\\ a=1\\ c=0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow\left\{\begin{matrix} b=4\\ a=1\\ c=0 \end{matrix}\right.$

L'equazione della parabola è: $y=x^{2}+4x$

Le equazioni generali della traslazione sono:

$\left\{\begin{matrix} x'=x+p\\ y'=y+q \end{matrix}\right.$

Dobbiamo traslare la nostra parabola di equazione

$y=x^{2}+4x$ secondo il vettore $\vec{v}=\left ( 4,2\right)$.

Abbiamo quindi: $\left\{\begin{matrix} x'=x+4\\ y'=y+2 \end{matrix}\right.$

Ricaviamo da esse x e y: $\left\{\begin{matrix} x=x'-4\\ y=y'-2 \end{matrix}\right.$

Sostituiamo ora queste equazioni nella parabola:

$y'-2= \left ( x'-4 \right )^{2}+4\left ( x'-4 \right )$

$y'-2= x'^{2}-8x'+16-4x'-16$

$y'-2= x'^{2}-4x'$ $y'= x'^{2}-4x'+2$

da cui ,eliminando gli apici,otteniamo l'equazione della parabola traslata.

$$y= x^{2}-4x+2$$