Matematica finanziaria- SAGGIO

es. 22-21

tasso = 8,32% in regime di capitalizzazione composta 

es. 22-20

tasso equivalente mensile iem = (1,052)^(1/12) -1 = 0,0042334

rata R = 15.000*(1+0,0042334)^12*0,0042334/((1+0,0042334)^12-1) = 1.284,66

Formule di matematica finanziaria:

Μ = R·(u^n - 1)/i montante di una rendita di n rate valutato al saggio i

(con u=1+i= montante unitario)

V = Μ/u^n = R·(u^n - 1)/(i·u^n) valore attuale della stessa

V = R·(u^n - 1)/((u - 1)·u^n) =  R·(u^n - 1)/(u^(n + 1) - u^n)

Nel nostro caso:

u ed i sono relativi ad 1 mese, n=12

10000 = 870·(u^12 - 1)/(u^(12 + 1) - u^12)-----> (u^13 - u^12)/(u^12 - 1) - 0.087 = 0

Ricerchiamo u con il metodo di Newton relativamente al calcolo delle radici di f(u)=0:

u(n+1)=u(n)-f(u)/f'(u) ( ultimo rapporto valutato in u(n))

Calcoliamo preventivamente f'(u):

f'(u)=((13·u^12 - 12·u^11)·(u^12 - 1) - 12·u^11·(u^13 - u^12))/(u^12 - 1)^2

f'(u)=u^11·(u^13 - 13·u + 12)/(u^12 - 1)^2

Se partiamo da

u(0)=1.03 ( saggio mensile del 3%)otteniamo:

u(1)=1.007551968

u(2)=1.006688838

u(3)=1.006687520

u(4)=1.006687520 =u

Su base annua il saggio è equivalente a:

i=1.006687520^12 - 1 = 0.08326875803 =8,333% circa

Detto x il saggio richiesto ed m quello del periodo di ammortamento a rate costanti si ha
* 1 + x = (1 + m)^12
e si deve approssimare numericamente una radice reale positiva dell'equazione della rata costante
* 870/10000 = m/(1 - 1/(1 + m)^12) ≡
≡ (((((((((((1000*m + 11913)*m + 64956)*m + 214258)*m + 475860)*m + 748935)*m + 855096)*m + 711612)*m + 426096)*m + 176935)*m + 46860)*m + 6258)*m - 44 = 0 ≡
≡ m ~= 0.00668752
da cui
* x = (1 + m)^12 - 1 = (1.00668752)^12 - 1 ~= 0.083268752512 ~= 8.33%