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[Risolto] MATEMATICA

  

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Determina l'equazione della parabola, con asse parallelo all'asse x, passante per i punti A(-6;1) e B(-2;0) e tangente alla retta di equazione x+y+6=0 .

[x=9y^2-13y-2;x=y^2-5y-2]

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Anzitutto ti clicko un cuoricino di gratitudine per aver trascritto su tastiera senza inserti in LaTeχ superflui.
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Poi ti rammento che ogni parabola non degenere, con
* asse di simmetria parallelo all'asse x
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ x = w + a*(y - h)^2
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Le condizioni di passare per A(- 6, 1) e per B(- 2, 0) impongono i vincoli d'appartenenza
* (- 6 = w + a*(1 - h)^2) & (- 2 = w + a*(0 - h)^2) & (a != 0) ≡
≡ (w = - ((a + 8)^2 - 48)/(4*a)) & (h = (a + 4)/(2*a))
da cui il fascio con punti base A e B
* Γ(a) ≡ x = a*(y - (a + 4)/(2*a))^2 - ((a + 8)^2 - 48)/(4*a) ≡
≡ x = a*y^2 - (a + 4)*y - 2
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La condizione di tangere la retta
* t ≡ x + y + 6 = 0 ≡ y = - x - 6
impone il vincolo d'annullamento al discriminante della risolvente del sistema
* sistema: t & Γ(a) ≡ (y = - x - 6) & (x = a*y^2 - (a + 4)*y - 2) & (a != 0)
* risolvente: a*(- x - 6)^2 - (a + 4)*(- x - 6) - 2 - x = 0 ≡
≡ a*x^2 + (13*a + 3)*x + 2*(21*a + 11) = 0
* discriminante: Δ(a) = (a - 1)*(a - 9) = 0 ≡
≡ (a = 1) oppure (a = 9)
da cui
* Γ(1) ≡ x = y^2 - 5*y - 2
* Γ(9) ≡ x = 9*y^2 - 13*y - 2
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x-6%2Cx%3Dy%5E2-5*y-2%2Cx%3D9*y%5E2-13*y-2%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-3to7
e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3Dy%5E2-5*y-2%2Cx%3D9*y%5E2-13*y-2%5D

 



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