matematica

Determina gli eventuali valori di k per cui l'equazione x² + y² + 2kx + 2(k-2)y + 2k + 4 = 0 rappresenta: a. una circonferenza (eventualmente degenere); b. una circonferenza con il centro sull’asse x c. una circonferenza passante per l’origine

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a.

x^2 + y^2 + 2·k·x + 2·(k - 2)·y + 2·k + 4 = 0

Il centro della circonferenza è dato da: [α = -k; β = 2 - k]

Il raggio vale:

r = √((α^2 +β^2 - c)  = √((-k)^2 + (2 - k)^2 - (2·k + 4))

essendo c = 2·k + 4 l'usuale termine noto.

La curva data è una circonferenza se risulta:

r = √(2·k^2 - 6·k)----> 2·k^2 - 6·k ≥ 0---> 2·k·(k - 3) ≥ 0

k ≤ 0 ∨ k ≥ 3 in particolare per k = 3 ∨ k = 0 degenerano in un punto.

b.

Deve risultare:

{k=2 ( cioè deve mancare il coefficiente relativo alla y)

{k ≤ 0 ∨ k ≥ 3

Quindi il problema è impossibile

c.

Il termine noto deve essere nullo:

2k+4=0----> k=-2 che è compatibile con la condizione k ≤ 0 ∨ k ≥ 3

 

 

 

Un'equazione che eguaglia a zero (cioè che è in forma normale canonica) un polinomio di secondo grado in due variabili con entrambi i termini quadratici con eguali coefficienti e priva del termine quadratico (cioè: a*(x^2 + y^2) + 0*xy + termini di grado uno e zero) rappresenta una circonferenza (eventualmente degenere o con raggio immaginario) quali che siano i termini di grado minore di due.
La distinzione dei diversi casi si scrive agevolmente avendo, oltre alla forma normale canonica data, anche la forma normale standard
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + 2*k*x + 2*(k - 2)*y + 2*(k + 2) = 0 ≡
≡ x^2 + 2*k*x + y^2 + 2*(k - 2)*y + 2*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + k)^2 - k^2 + (y + (k - 2))^2 - (k - 2)^2 + 2*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + k)^2 + (y + (k - 2))^2 = 2*(k - 3)*k
dalla quale leggere
* raggio r(k) = √(2*(k - 3)*k) (nullo per k ∈ {0, 2}, immaginario per 0 < k < 3)
* centro C(- k, 2 - k)
* luogo dei centri y = x + 2
Quesito c
Γ(k) passa per l'origine se e solo se la forma normale canonica è priva di termine noto
* Γ(- 2) ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 8*y = 0
ha
* raggio r(- 2) = 2*√5
* centro C(2, 4)
Distinzione di casi
* k < 0: r > 0; Γ reale non degenere;
* k = 0: r = 0; Γ reale degenere;
* 0 < k < 3: r immaginario; Γ non reale e non degenere;
* k = 3: r = 0; Γ reale degenere;
* k > 3: r > 0; Γ reale non degenere.
Quesito a
Per ogni valore reale di k.
Quesito b
Centro C(- k, 2 - k) sull'asse x vuol dire k = 2
* raggio r(2) = i*2
* centro C(- 2, 0)
* Γ(2) ≡ (x - 2)^2 + y^2 = - 4
cioè: r immaginario; Γ non reale e non degenere.