[Risolto] Matematica

Ogni equazione razionale intera di grado due in x con coefficienti tutti reali si può ridurre alla forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0
(comunque scomponibile in (x - X1)*(x - X2) = 0) alla quale applicare l'opportuna procedura risolutiva secondo se e quali di (s, p) siano zeri.
A) (s = 0) & (p = 0) → x = 0
B) (s = 0) & (p ≠ 0) → x = ± √(- p)
C) (s ≠ 0) & (p = 0) → (x = 0) oppure (x = s)
D) (s ≠ 0) & (p ≠ 0) → procedura di Bramegupta: 1) completare il quadrato dei termini in x; 2) scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; 3) applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"; 4) applicare la legge d'annullamento del prodotto; 5) distinguere le radici.
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D1a) x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 = (x - s/2)^2 - s^2/4
D1b) x^2 - s*x + p = 0 ≡ (x - s/2)^2 - s^2/4 + p = 0
D2) (x - s/2)^2 - s^2/4 + p = 0 ≡ (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0
D3) (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0 ≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) = 0
D4) (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2 = 0) oppure (x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2 = 0) ≡
≡ (x - (s - √(s^2 - 4*p))/2 = 0) oppure (x - (s + √(s^2 - 4*p))/2 = 0)
D5) (X1 = (s - √(s^2 - 4*p))/2) oppure (X2 = (s + √(s^2 - 4*p))/2)
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IMPOSSIBILE AVERE RADICI REALI
* Procedura B: se p > 0 allora le radici sono puramente immaginarie e opposte.
* Procedura D: se 4*p > s^2 allora le radici sono complesse e coniugate.
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ESERCIZIO
1) "ײ+4=0" ≡ x^2 + 4 = 0 ≡ x^2 - 0*x + 4 = 0 → B
2) "-4x²=0" ≡ - 4*x^2 = 0 ≡ x^2 - 0*x + 0 = 0 → A
3) "-x²+x-5=0" ≡ - x^2 + x - 5 = 0 ≡ x^2 - 1*x + 5 = 0 → D
4) "-x²+x-2=0" ≡ - x^2 + x - 2 = 0 ≡ x^2 - 1*x + 2 = 0 → D
5) "x²-2x-1=0" ≡ x^2 - 2*x - 1 = 0 → D

a·x^2 + b·x + c = 0

Δ = b^2 - 4·a·c

x1 = (-b - √Δ)/(2·a)

x2 = (-b + √Δ)/(2·a)

Δ > 0:  2 radici reali e distinte

Δ = 0: 2 radici reali e coincidenti

Δ < 0 : equazione impossibile nell'ambito dei numeri reali.