Considera la parabola $\gamma$ avente fuoco in $F(0 ; 8)$ e la retta di equazione $y=-4$ come direttrice, e sia $P$ il punto di $\gamma$ avente ascissa $3 .$
a. Determina la retta $t$, tangente a $\gamma$ in $P$.
b. Nel fascio di rette parallele a $t$ trova la retta $r$ su cui $\gamma$ stacca un segmento di lunghezza $\frac{3}{2} \sqrt{17}$.
c. Calcola l'area del triangolo che ha per vertici gli estremi della corda e il fuoco.
[a) $2 x-8 y+13=0 ;$ b) $x-4 y+8=0 ;$ c) 18$]$
N 538
53
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Livello 1
Determino l'equazione della parabola dalla definizione di luogo geometrico:
PF=PA (vedi figura)
√((x - 0)^2 + (y - 8)^2) = ABS(y + 4)
√(x^2 + y^2 - 16·y + 64) = ABS(y + 4)
elevo al quadrato entrambi i due membri:
x^2 + y^2 - 16·y + 64 = y^2 + 8·y + 16
quindi:
y = x^2/24 + 2
Continuo nel pomeriggio (dopo pennichella)
Coordinate di P per x=3------>P(3,3^2/24+2)------>P(3,19/8)
Formule di sdoppiamento:
(y + 19/8)/2 = 3·x/24 + 2------> y = x/4 + 13/8
2x-8y+13=0 retta tangente t
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generica retta parallela a t: y=x/4+q
Metto quindi a sistema:
{y=x^2/4+2
{y=x/4+q
che risolto fornisce:
x = (√(16·q - 31) + 1)/2 ∧ y = (√(16·q - 31) + 8·q + 1)/8
v
x = (1 - √(16·q - 31))/2 ∧ y = - (√(16·q - 31) - 8·q - 1)/8
Poni:
3/2·√17 = √(((√(16·q - 31) + 1)/2 - (1 - √(16·q - 31))/2)^2 + ((√(16·q - 31) + 8·q + 1)/8 + (√(16·q - 31) - 8·q - 1)/8)^2)
ottieni:
q = 67/16--------->y=x/4+67/16-------> 4x-16y+67=0......ho sbagliato in qualcosa...
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Genius II
* γ ≡ y = x^2/24 + 2
con pendenza
* m(x) = x/12
in quanto
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1) direttrice parallela all'asse x (y = - 4) vuol dire asse di simmetria parallelo all'asse y, quindi equazione di forma
* γ ≡ y = yV + a*(x - xV)^2
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2) fuoco F(0, 8) distante 2*f = 12 dalla direttrice vuol dire
* asse di simmetria x = 0
* distanza focale f = 6 = 1/(4*|a|) ≡ |a| = 1/24
* a > 0 perché yF = 0 > - 4 della direttrice
* ordinata del vertice intermedia fra direttrice e fuoco V(0, 2)
* γ ≡ y = 2 + (x - 0)^2/24
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Poi, da x = 3, si determina
* P(3, 3^2/24 + 2) = (3, 19/8)
* m(3) = 3/12 = 1/4
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A) Per P(3, 19/8) passano tutte e sole le rette
* x = 3, parallela all'asse y;
* y = 19/8 + k*(x - 3), per ogni pendenza k reale.
Quella di pendenza 1/4 è
* t ≡ y = 19/8 + (x - 3)/4 ≡
≡ 2*x - 8*y + 13 = 0
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B) La generica
* r(q) ≡ y = x/4 + q
interseca γ nelle soluzioni del sistema
* r(q) & γ ≡ (y = x/4 + q) & (y = x^2/24 + 2) ≡
≡ S1(3 - √(3*(8*q - 13)), (4*q + 3 - √(3*(8*q - 13)))/4)
oppure
≡ S2(3 + √(3*(8*q - 13)), (4*q + 3 + √(3*(8*q - 13)))/4)
distanti fra loro
* d(q) = √(51*(8*q - 13))/2
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La r richiesta corrisponde a q che verifica
* d(q) = √(51*(8*q - 13))/2 = (3/2)*√17 ≡ q = 2
da cui
* r(2) ≡ y = x/4 + 2
* S1(3 - √(3*(8*2 - 13)), (4*2 + 3 - √(3*(8*2 - 13)))/4) = (0, 2)
* S2(3 + √(3*(8*2 - 13)), (4*2 + 3 + √(3*(8*2 - 13)))/4) = (6, 7/2)
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C) S(S1S2F) = 18
in quanto il triangolo ha base (b = 6) sull'asse y fra F(0, 8) e S1(0, 2), ed ha per altezza (h = 6) la differenza delle ascisse fra S2 e i due allineati sull'asse y.
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Genius I
