[Risolto] matematica

Somma di una progressione aritmetica di n termini:

S = n * (a1 + an)/2;

Questa formula ci è stata data da Gauss che quando a 10 anni, faceva le elementari sommò i primi 100 numeri naturali in un attimo: S = (1 + 100) *  100 / 2 = 101 * 50 = 5050.

Il maestro pensava che un problema così avrebbe richiesto molto tempo.

S = Somma per k che va da 1 a m di  [2 * (k - 1/2)];

a1 = 2 * (1 - 1/2) = 2 * 1/2 = 1;

am = 2 * (m - 1/2) = 2m - 1; ultimo termine

S = m * (1 + 2m - 1) / 2;

S = 2 m^2 / 2;

S = m^2.

La somma è data dal quadrato di m, cioè il numero al quadrato dei termini .

Esempio:

somma dei primi tre termini: m = 4.

Somma = 4^2 = 16.

1; 3; 5;7;

1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Ciao @annaro.

@AnnaRo 

È una progressione aritmetica di m termini in cui il primo è 2*1/2 = 1 e l'ultimo 2m-1

S= m²

La successione
* a(k) = 2*(k - 1/2)
con k > 0, ha la somma parziale
* s(n) = Σ [k = 1, n] a(k) = Σ [k = 1, n] 2*(k - 1/2)
che si può sviluppare in due modi.
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1) Per ispezione: si riconosce che 2*(k - 1/2) = (2*k - 1) = il k-mo naturale dispari e, rammentando dalle elementari che la somma dei primi n naturali dispari è il quadrato di n (le disposizioni di lenticchie, orlando il quadrato precedente), si dichiara che
* s(n) = Σ [k = 1, n] a(k) = Σ [k = 1, n] 2*(k - 1/2) = n^2
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2) Pedissequamente: applicando le proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni arithmetiche più il trucchetto con cui il bimbo Gauss sorprese il suo maestro delle elementari.
* s(n) = Σ [k = 1, n] a(k) = Σ [k = 1, n] 2*(k - 1/2) =
= Σ [k = 1, n] (2*k - 2*1/2) =
= (Σ [k = 1, n] 2*k) - (Σ [k = 1, n] 1) =
= (2*Σ [k = 1, n] k) - n =
= 2*n*(n + 1)/2 - n =
= n^2
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Trucchetto di Gauss: Σ [k = 1, n] k = n*(n + 1)/2
Pensa di mettere in fila tutti gli addendi
* 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n
di scrivergli sotto la fila rovesciata
* n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1
di addizionare in colonna i corrispondenti ottenendo (n + 1) in ogni colonna, per tutte le n colonne avendo un totale di n*(n + 1); solo che così ogni addendo è stato contato due volte, perciò il totale va dimezzato per ottenere la somma richiesta.

@AnnaRo 

È una progressione aritmetica di m termini in cui il primo è 2*1/2 = 1 e l'ultimo 2m-1