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Data la cubica
$$
y=a x^3+b x^2-c x+d \operatorname{con} a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0,
$$
verifica che ammette sempre un punto di flesso.
a. Determina il valore dei parametri per cui la curva ha il punto di flesso nell'origine e il massimo nel punto $(2 ; 8)$. Studia e rappresenta graficamente la funzione ottenuta.
b. Dopo aver trovato l'equazione della tangente $t$ alla curva nell'origine, considera una retta passante per l'origine e compresa tra l'asse $x$ e $t$. Determina la retta che rende massima l'area del triangolo $A P B$, dove con $P$ si è indicato il punto di intersezione tra la retta e la cubica nel primo quadrante e con $A$ e $B$ i punti di intersezione tra la cubica e l'asse $x$ diversi dall'origine.

20240429 154029
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y = a·x^3 + b·x^2 - c·x + d

y' = 3·a·x^2 + 2·b·x - c

y'' = 6·a·x + 2·b

6·a·x + 2·b = 0---> x = - b/(3·a)

a ≠ 0 ammette sempre una radice : ammette sempre punto di flesso

Condizioni:

{0 = a·0^3 + b·0^2 - c·0 + d passa per l'origine O

{8 = a·2^3 + b·2^2 - c·2 + d passa per (2,8)

{6·a·0 + 2·b = 0 flesso in O

{3·a·2^2 + 2·b·2 - c = 0 punto di stazionarietà in x=2

quindi risolvo:

{d = 0

{8·a + 4·b - 2·c + d = 8

{b = 0

{12·a + 4·b - c = 0

ed ottengo:[ a = - 1/2 ∧ b = 0 ∧ c = -6 ∧ d = 0]

Quindi:

y = 6·x - x^3/2-----> y' = 6 - 3·x^2/2

per x=0:  y' = m = 6

quindi .

t: y = 6·x

image

Lo studio (poca roba lo lascio a te)

Ultima parte:

image

{y = 6·x - x^3/2

{y = 0

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 2·√3 ∧ y = 0, x = - 2·√3 ∧ y = 0]

Base triangolo AB=4·√3

Altezza triangolo: 6·x - x^3/2

Area = A = 1/2·(4·√3)·(6·x - x^3/2)---> Α = 12·√3·x - √3·x^3

A' =0---> 12·√3 - 3·√3·x^2 = 0

x = -2 ∨ x = 2

y = 6·2 - 2^3/2---> y = 8

[2, 8]

y = 8/2·x----> y = 4·x

 

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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