Una superficie sferica di centro $C(1 ; 0 ;-1)$ è tangente al piano $\pi$ di equazione $x+3 y-4 z-31=0$. Determina le coordinate degli estremi del diametro che passa per il punto di tangenza. $\quad[(2 ; 3 ;-5),(0 ;-3 ; 3)]$
Una superficie sferica di centro $C(1 ; 0 ;-1)$ è tangente al piano $\pi$ di equazione $x+3 y-4 z-31=0$. Determina le coordinate degli estremi del diametro che passa per il punto di tangenza. $\quad[(2 ; 3 ;-5),(0 ;-3 ; 3)]$
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Livello 1
La distanza d del punto P(u, v, w) dal piano a*x + b*y + c*z + d = 0 è
* d = |a*u + b*v + c*w + d|/√(a^2 + b^2 + c^2)
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La distanza d del punto C(1, 0, - 1) dal piano
* π ≡ x + 3*y - 4*z - 31 = 0 ≡ x = 31 - 3*y + 4*z
è
* d = √26
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La sfera σ di centro C e raggio d è
* σ ≡ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 26
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Uno degli estremi richiesti è il punto T di tangenza, soluzione reale del sistema
* π & σ ≡ (x = 31 - 3*y + 4*z) & ((x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 26) ≡ T(2, 3, - 5)
l'altro è l'intersezione della superficie sferica con la congiungente CT
* CT ≡ (y = 3*(x - 1)) & (z = 3 - 4*x)
* CT & σ ≡ (y = 3*(x - 1)) & (z = 3 - 4*x) & ((x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 26) ≡ (0, - 3, 3)
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Genius I