Date le funzioni $f(x)=\frac{3 x-1}{2 x+3}$ e $g(x)=\frac{3 x+a}{3-2 x}$, ricava il valore di $a \in \mathbb{R}$ per il quale si ha $(g \circ f)(x)=x$.
Per il valore di $a$ trovato:
a. verifica che si ha anche $(f \circ g)(x)=x$;
b. rappresenta $f(x)$ e $g(x)$ nello stesso riferimento cartesiano; quale relazione sussiste tra i due grafici?
$[a=1 ; b)$ sono simmetrici rispetto alla retta $y=x]$
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Livello 1
Se gof=x
significa che f^(-1)=g
Quindi calcolo f^(-1) tramite sostituzioni:
x--->f; f---> x
x = (3·f - 1)/(2·f + 3)----> f ^(1)= (3·x + 1)/(3 - 2·x)
da cui:
(3·x + 1)/(3 - 2·x) = (3·x + a)/(3 - 2·x)
da cui a=1
--------------------------------
f = (3·x - 1)/(2·x + 3)
g= (3·x + 1)/(3 - 2·x)
Verifica:
fog= (3·((3·x + 1)/(3 - 2·x)) - 1)/(2·((3·x + 1)/(3 - 2·x)) + 3)
fog= 11·x/(3 - 2·x)/(11/(3 - 2·x))
fog=x
--------------------------------
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Genius III
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Genius II
