Massimo e minimo aree e volumi.

Richiamo la formula di Archimede per il calcolo dell'area del segmento parabolico quando la retta che interseca la parabola è l'asse delle ascisse che ha equazione y = 0.

Determiniamo le radici del fascio di parabole $ y = ax^2+(a^2-1)x - a$

Le due radici sono 

$ x_{A, B} = \frac{(1-a^2) \pm \sqrt{4a^2 +(a^2-1)^2}}{2a} $

La loro differenza vale

$ x_B - x_A = \frac{\sqrt{4a^2 +(a^2-1)^2}}{2a} = \frac{\sqrt{(a^2+1)^2}}{a} = \frac{a^2+1}{a} $

Calcoliamo l'Area A della generica parabola 

$ A = \frac{1}{6} |a| (x_B - x_A)^3 $

due casi 

1. a > 0

$ A_> = \frac{1}{6} \frac{(a^2+1)^3}{a^2} $

dobbiamo calcolare il minimo quindi determiniamo la derivata prima

$ A'_> = \frac{(a^2+1)(2a^2-1)}{3a^3} $

e di seguito il punto stazionario

$ A'_> = 0 \; ⇔ \; 2a^2-1 = 0 \; ⇔ \; a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $

2. A < 0; Anche per questo caso si ottengono gli stessi due risultati.

Sono punti stazionari, per verificare che trattasi di minimo passiamo alla derivata seconda.

$ \dfrac{d^2}{dx^2} A = \frac{1}{a^4} + 2a^2 + 1 $

Che è evidentemente positiva per ogni valore di a∈ℝ\{0}, quindi si tratta di un minimo.

Passiamo al calcolo dell'area A nel caso di $ a= \frac{\sqrt{2}}{2} $ 

La parabola da considerare per a > 0 è $ y(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} $

Le sue radici sono:

• $x_B = \sqrt{2}$
• $x_A = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Applicando la formula si ottiene

$ A = \frac{1}{6} \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^3 = \frac{9}{8} $

Ho controllato ma non ho trovato l'errore.

Ho rifatto il calcolo usando l'integrale 

$ A = \int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{8} $

Stesso risultato di prima.