[Risolto] Massimi e Minimi

1. La derivata è sbagliata:

$y' = 4x(1+x)^3 + 6x^2(1+x)^2 = (1+x)^2(4x(1+x) + 6x^2) = $

$=(1+x)^2(10x^2 + 4x) = 2x(1+x)^2(5x+2)$

y'=0 --> x=0 , x=-2/5 , x=-1.

(1+x)^2 >=0 sempre

Segno f'

                  |      -1        |      -2/5          |        0         |

(1+x)^2     +                +                     +                  +

(5x+2)        -                 -                      +                  +       

2x              -                  -                      -                  + 

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                  +                 +                     -                  + 

x= -1 --> flesso orizz. ascendente

x = -2/5 --> massimo

x = 0 ---> minimo

Per i flessi obliqui devi valutare il segno della derivata seconda.

Se accetti una battutaccia, ciò che non va è che la tua è una tabella dei segni: strumento rapido, ma prono a errori sia di formulazione che di lettura.
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Se la consegna, come appare dal risultato atteso, è quella di classificare i punti critici di una data
* f(x) = y = 2*(x^2)*(1 + x)^3
allora lo strumento più adatto (non rapidissimo, ma sicurissimo) è quello standard: il test delle derivate con la sua Tavola di Classificazione (la stampi una volta e ti viene comoda fino alla laurea)
0) (f'(x) < 0) & (f''(x) < 0): f decrescente concava in basso
1) (f'(x) < 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente decrescente
2) (f'(x) < 0) & (f''(x) > 0): f decrescente concava in alto
3) (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0): punto di massimo relativo
4) (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente orizzontale
5) (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0): punto di minimo relativo
6) (f'(x) > 0) & (f''(x) < 0): f crescente concava in basso
7) (f'(x) > 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente crescente
8) (f'(x) > 0) & (f''(x) > 0): f crescente concava in alto
Lo svolgimento è per fasi successive: si calcolano f'(x) ed f''(x), poi i loro zeri, poi il segno dell'una sugli zeri dell'altra, infine si consulta la tavola e si esibisce il risultato.
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* f(x) = y = 2*(x^2)*(1 + x)^3 = 2*x^5 + 6*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2
* f'(x) = 10*x^4 + 24*x^3 + 18*x^2 + 4*x = 10*(x + 2/5)*x*(x + 1)^2
* f''(x) = 40*x^3 + 72*x^2 + 36*x + 4 = 40*(x + 1)*(x - (- 4 - √6)/10)*(x - (- 4 + √6)/10)
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* f'(x) = 10*(x + 2/5)*x*(x + 1)^2 = 0 ≡ x ∈ {- 1, - 2/5, 0}
* f''(x) = 40*(x + 1)*(x - (- 4 - √6)/10)*(x - (- 4 + √6)/10) = 0 ≡
≡ x ∈ {- 1, (- 4 - √6)/10, (- 4 + √6)/10}
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* f'(- 1) = 0
* f'((- 4 - √6)/10) = 3*(- 3 + 8*√6)/250 ~= 1/5 > 0
* f'((- 4 + √6)/10) = 3*(- 3 - 8*√6)/250 ~= - 1/3 < 0
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* f''(- 1) = 0
* f''(- 2/5) = - 36/25 < 0
* f''(0) = 4 > 0
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Classificazione
* x = - 1: (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente orizzontale
* x = - 2/5: (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0): punto di massimo relativo
* x = (- 4 - √6)/10: (f'(x) > 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente crescente
* x = (- 4 + √6)/10: (f'(x) < 0) & (f''(x) = 0): punto di flesso con tangente decrescente
* x = 0: (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0): punto di minimo relativo