Mal di testa

f(t) = t^3 + a·t^2 + b·t + c

con f= concentrazione del farmaco (mg/l)

t= tempo dalla somministrazione  (h)

0 ≤ t ≤ 6

Dal grafico si ha [2, 32] il punto di concentrazione massima

Determinazione costanti della cubica:

{32 = 2^3 + a·2^2 + b·2 + c   (passa da [2, 32] )

{0 = 0^3 + a·0^2 + b·0 + c   (passa da [0, 0] )

{0 = 6^3 + a·6^2 + b·6 + c  (passa da [6, 0] )

Quindi risolvo:

{4·a + 2·b + c = 24

{c = 0

{36·a + 6·b + c = -216

ed ottengo: [a = -12 ∧ b = 36 ∧ c = 0]

Quindi funzione: f(t) = t^3 - 12·t^2 + 36·t

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Per avere effetto l'analgesico deve risultare:

f ≥ 5 (mg/l) :        t^3 - 12·t^2 + 36·t ≥ 5

t^3 - 12·t^2 + 36·t - 5 ≥ 0

osservo che:

5^3 - 12·5^2 + 36·5 - 5 = 0

Quindi: (t^3 - 12·t^2 + 36·t - 5)/(t - 5)= t^2 - 7·t + 1

e che:

t^2 - 7·t + 1 = 0 per t = 7/2 - 3·√5/2 ∨ t = 3·√5/2 + 7/2

7/2 - 3·√5/2 = α ; 3·√5/2 + 7/2 = β

(α = 0.1458980337 h ; β = 6.854101966 h)

(t - 5)·(t^2 - 7·t + 1) ≥ 0

soluzione: 0.1458980337 h ≤ t ≤ 5 h  ∨ t ≥ 6.854101966 h (si scarta)

Inizia effetto analgesico per :

0.1458980337·60 = 9 minuti circa

cessa effetto analgesico dopo 5 ore

a)

max. concentrazione pari a 32 mg/L dopo 2,00 ore ; altro punto significativo è 27 mg/L dopo 3,00 h

c)

La minima concentrazione attiva di 5 mg/L è raggiunta dopo 15*0,6 = 9,0' e lasciata dopo 5,00 h

b)

determinazione dei coefficienti a,b e c

partendo dai valori letti sul grafico e riportati in a), audemus dicere :

32 = 2^3+4a+2b+c (1)

27 = 3^3+9a+3b+c (2)

sottraendo la (2) dalla (1) :

5 = -19-5a-b

-24 = 5a+b (3)

b = -24-5a ....che sostituita nella 2 porta a :

27 = 27+9a-72-15a

6a = -72

a =-12 ...che sostituita nella (3) porta a :

-24 = -60+b

b = 36

tornando alla (1) si determina C

C = 32-8+48-72 = 0

verifica :

8-48+72 = 32 mg/L

27-108+108 = 27 mg/L

...una faticaccia 😓