Limiti e continuità

y = a·x^2 + b·x + c

quindi il fascio rappresenta parabole ad asse verticale

a = a

b = - 2·(a + 1)

c = - 2·a

Ascissa del vertice:

x = - (- 2·(a + 1))/(2·a)---> x = (a + 1)/a

Ordinata del vertice:

y = - Δ/(4·a)

Δ = (- 2·(a + 1))^2 - 4·a·(- 2·a)

Δ = 4·(3·a^2 + 2·a + 1)

y = - 4·(3·a^2 + 2·a + 1)/(4·a)

y = - (3·a^2 + 2·a + 1)/a

dalla prima in grassetto: 

a = 1/(x - 1)

per cui il luogo geometrico cercato è:

y = - (3·(1/(x - 1))^2 + 2·(1/(x - 1)) + 1)/(1/(x - 1))

y = - (x^2 + 2)/(x - 1)^2/(1/(x - 1))

y = (x^2 + 2)/(1 - x)

che possiamo anche scrivere come:

y = - 3/(x - 1) - x - 1

Per x → ∞

si osserva l'equazione dell'asintoto obliquo:

y = -x - 1

mentre l'asintoto verticale ha equazione:

x = 1

Grafico:

Centro dell'iperbole non equilatera:

{x = 1

{y = -x - 1

[x = 1 ∧ y = -2]

Verifica della simmetria rispetto a tale centro.

Indichiamo con [η, μ] le coordinate di un punto simmetrico rispetto al centro:

{η = 2·1 - x------> x = 2 - η

{μ = - 2·2 - (x^2 + 2)/(1 - x)

μ = - 2·2 - ((2 - η)^2 + 2)/(1 - (2 - η))

μ = - 3/(η - 1) - η - 1

μ = (η^2 + 2)/(1 - η)

che dimostra che le coordinate di tale punto soddisfano l'equazione dell'iperbole.