Limiti di funzioni in due variabili

cambio di variabili x = ρ cos θ e y = ρ sin θ.

Primo limite
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^4 \sin(xy^2)}{x^2+y^4}$

Introduciamo le coordinate polari:
- $x = \rho\cos\theta$
- $y = \rho\sin\theta$

Sostituiamo:

$x^2 = \rho^2\cos^2\theta$
$y^4 = \rho^4\sin^4\theta$
$xy^2 = \rho^3\cos\theta\sin^2\theta$

Quindi:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^4 \sin(xy^2)}{x^2+y^4} = \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^2\cos^2\theta \cdot \rho^4\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^4\sin^4\theta}$

Semplifichiamo:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^6\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\rho^2(\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta)}$

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

Utilizziamo ora il fatto che $\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1$, quindi:

$\sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta) \sim \rho^3\cos\theta\sin^2\theta$ per $\rho \to 0$

Sostituendo:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \rho^3\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^7\cos^3\theta\sin^6\theta}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

Per $\rho \to 0$, il denominatore tende a $\cos^2\theta$ (quando $\cos\theta \neq 0$):

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^7\cos^3\theta\sin^6\theta}{\cos^2\theta}$

$= \lim_{\rho\to0} \rho^7 \cdot \cos\theta \cdot \sin^6\theta$

Poiché $\rho^7 \to 0$ quando $\rho \to 0$, e $\cos\theta \cdot \sin^6\theta$ è limitato, il limite è:

$= 0$

## Secondo limite
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\frac{2\sin(xy^3)}{x^2+y^6}+x\right)$

Usando le coordinate polari:
- $xy^3 = \rho^4\cos\theta\sin^3\theta$
- $x^2+y^6 = \rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta$
- $x = \rho\cos\theta$

Quindi:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\frac{2\sin(xy^3)}{x^2+y^6}+x\right) = \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta)}{\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Per il termine $\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta)$, utilizziamo nuovamente $\sin(t) \sim t$ per $t \to 0$:

$\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta) \sim \rho^4\cos\theta\sin^3\theta$ per $\rho \to 0$

Sostituendo:

$\lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^4\cos\theta\sin^3\theta}{\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^4\cos\theta\sin^3\theta}{\rho^2(\cos^2\theta + \rho^4\sin^6\theta)}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta + \rho^4\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Per $\rho \to 0$, il denominatore tende a $\cos^2\theta$ (quando $\cos\theta \neq 0$):

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(2\rho^2\frac{\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(2\rho^2\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Poiché $\rho \to 0$, il termine $2\rho^2\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} \to 0$ (per $\cos\theta \neq 0$).
Similmente, $\rho\cos\theta \to 0$.

Quindi il limite è:

$= 0$

EDIT

Primo limite

Quando θ = π/2, abbiamo:

- cos θ = 0
- sin θ = 1

Riprendiamo l'espressione in coordinate polari:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^6\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\rho^2(\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta)}$

Per θ = π/2:

- $\cos^2\theta = 0$
- $\sin^4\theta = 1$

Sostituendo:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^6 \cdot 0 \cdot 1 \cdot \sin(\rho^3 \cdot 0 \cdot 1)}{\rho^2(0+\rho^2 \cdot 1)} = \lim_{\rho\to0} \frac{0 \cdot \sin(0)}{\rho^2 \cdot \rho^2} = \frac{0}{0}$

Hai ragione, questo è effettivamente un caso indeterminato. Quindi studiamo il limite lungo questa direzione specifica.

Quando θ = π/2, abbiamo x = 0 e y = ρ. Sostituendo direttamente nell'espressione originale:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^4 \sin(xy^2)}{x^2+y^4} = \lim_{y\to0} \frac{0 \cdot y^4 \sin(0 \cdot y^2)}{0+y^4} = \lim_{y\to0} \frac{0}{y^4} = 0$

Quindi lungo la direzione θ = π/2 il limite è 0.

Secondo limite

Riprendiamo l'espressione:

$\lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta)}{\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Per θ = π/2:

- $\cos\theta = 0$
- $\sin\theta = 1$
- $\rho\cos\theta = 0$
- $\rho^4\cos\theta\sin^3\theta = 0$
- $\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta) = \sin(0) = 0$
- $\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta = 0 + \rho^6$

Quindi:

$\lim_{\rho\to0} \left(\frac{2 \cdot 0}{\rho^6}+0\right) = \lim_{\rho\to0} 0 = 0$

Studiando direttamente con x = 0 e y = ρ:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\frac{2\sin(xy^3)}{x^2+y^6}+x\right) = \lim_{y\to0} \left(\frac{2\sin(0)}{0+y^6}+0\right) = \lim_{y\to0} \frac{0}{y^6} = 0$

Conclusione

Il motivo per cui il limite totale è 0 è che, sebbene ci siano direzioni particolari (come θ = π/2) dove si presentano forme indeterminate, quando risolviamo direttamente queste indeterminazioni troviamo che anche lungo tali direzioni il limite è 0.

Per un limite di una funzione di due variabili, affinché esso esista, il valore deve essere lo stesso indipendentemente dal percorso con cui ci avviciniamo al punto. Nel nostro caso, abbiamo verificato che:

1. Per percorsi generici (con cos θ ≠ 0), il limite è 0
2. Per il percorso specifico lungo l'asse y (θ = π/2), il limite è anche 0

Poiché otteniamo lo stesso valore (0) indipendentemente dalla direzione, possiamo concludere che il limite esiste ed è uguale a 0.