Determina per quali valori di $a \in R$ esistono i seguenti limiti e calcolali:
$\lim _{x \rightarrow-\infty}(\sin x+a) e^x$
b. $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin x+a) e^x$
[a. Esiste per ogni $a \in R$ e il limite è 0 ; b. esiste per $|a|>1$ e il limite è $+\infty$ ]
286
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Livello 1
Problema:
Determina per quali valori di $a \in \mathbb{R}$ esistono i seguenti limiti e calcolali:
(i) $\lim_{x \rightarrow -∞} (\sin x +a)e^x$
(ii) $\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x$
Soluzione:
(i) Il limite esiste per ogni $a \in \mathbb{R}$ dato che si presenterebbero i seguenti casi: $k\cdot 0=0^-, k<0$, $k \cdot 0=0^+, k>0$, $k \cdot 0= 0, k=0$.
$\lim_{x \rightarrow -∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow -∞} \frac{\sin x +a}{e^{-x}}=\lim_{x \rightarrow +∞} e^{-x}=0$
(ii) Poiché vi è la forma indeterminata $0 \cdot ∞$, è necessario porre $\sin x +a ≠0$, dato che $|\sin x|≤1$ per non avere problemi di alcun tipo è opportuno porre $a<-1 \vee a>1 \rightarrow |a|>1$.
Se $\sin x + a>0$, allora:
$\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow +∞} e^x=+∞$
Se $\sin x +a<0$, allora:
$\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow +∞} -e^x=-∞$
6218
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Livello 6
