Limiti

In entrambi i casi operiamo con x ≠ 1 quindi possiamo semplificare 

$ \frac{x^3-1}{x^2-1} = \frac{x^2+x+1}{x+1} $

Iniziamo dall'ultimo

b.  $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+x+1}{x+1} $ 

1. per x = 10 si ha $f(x) = \frac{111}{11} $
2. per x = 10³ si ha $f(x) = \frac{1001001}{1001} $
3. per x = 10⁶ si ha $f(x) = \frac{1000001000001}{1000001} $

Possiamo congetturare che il limite tende a +∞.

a.  $ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} $

Ci avviciniamo a 1: 

• da sinistra con (x+1-1/n) ovvero $ f(x) = \frac{(x-\frac{1}{n})^2 + x-\frac{1}{n} +1}{x-\frac{1}{n} +1} $ calcolate per x = 1

1. per n = 1 si ha $f(1) = 1 $
2. per n = 2 si ha $f(1) = \frac{7}{6} $
3. per n = 5 si ha $f(1) = \frac{61}{45} $
4. per n = 10 si ha $f(1) = \frac{271}{190} $
5. per n = 100 si ha $f(1) = \frac{29701}{19900} $

• da destra con (x+1/n) ovvero $ \frac{(x+\frac{1}{n})^2 + x+\frac{1}{n} +1}{x+\frac{1}{n} +1} $ calcolate per x = 1

1. per n = 1 si ha $f(1) = \frac{7}{3} $
2. per n = 2 si ha $f(1) = \frac{19}{10} $
3. per n = 5 si ha $f(1) = \frac{91}{55} $
4. per n = 10 si ha $f(1) = \frac{331}{210} $
5. per n = 100 si ha $f(1) = \frac{30301}{20100} $

Possiamo congetturare che il limite tende a 3/2