[Risolto] Limiti

Scriviamo la definizione di limite per questo caso, il primo passo è la verifica del limite a confronto con il dominio della funzione.

• Dominio. D = ℝ
  • Il limite dato a senso.

• Definizione di limite

$ \forall ε > 0 \quad \exists M > 0 \; | \; |e^{-x^2} -0| < ε \quad \forall x \in D; \text{  con  } x > M $

Si tratta quindi di trovare un M che renda la proposizione vera.

Il punto di partenza è la disequazione 

$ |e^{-x^2} -0| < ε $

$ - ε < e^{-x^2} < ε $

Osserviamo che 

$ - ε < 0 < e^{-x^2} < ε $

La disequazione a sinistra è verificata per ogni x reale. Rimane da considerare la disequazione di destra

$ e^{-x^2} < ε $         Applichiamo il logaritmo naturale ad ambo i membri

$ ln(e^{-x^2}) < ln(ε) $     Ricordiamo che ln è l'inversa dell'esponenziale in base e

$ -x^2 < ln(ε) $           Moltiplichiamo ambo i membri per -1, cambio verso alla disequazione  

$ x^2 > - ln(ε) $         Proprietà dei logaritmi

$ x^2 > ln(\frac{1}{ε}) $

$ x > \sqrt{ln (\frac{1}{ε})} $    Abbiamo scelto, come richiesto, l'alternativa positiva.

Non resta che battezzare $ M = \sqrt{ln (\frac{1}{ε})} $, abbiamo così dimostrato che ne esiste almeno uno.