[Risolto] Limite e metodo di ruffini

Ciao.

Sostituendo il valore di $x=-3$ come prima verifica nel limite si ottiene una forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$

Dobbiamo dunque fare delle trasformazioni al numeratore e denominatore per rimuovere la forma indeterminata. 

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} {\frac{x^3-9x}{x^2+3x} }$

Scomponiamo il numeratore facendo un raccoglimento della x:

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} {\frac{x(x-9)}{x^2+3x} }$

Facciamo la stessa cosa al denominatore, raccogliere la x:

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} {\frac{x(x-9)}{x(x+3)} }$

La x essendo presente sia al numeratore che denominatore sotto forma di prodotti è possibile toglierla dividendo per x:

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} {\frac{(x-9)}{(x+3)} }$

Ricordando il prodotto notevole: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ è possibile scomporre in fattori l'espressione presente al numeratore:

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} {\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)} }$

Possiamo ora dividere sia numeratore che numeratore per $(x+3)$ 

$\lim \underset{x\rightarrow -3}{} (x-3)$

Possiamo ora calcolare il limite sostituendo  $x=-3$

Allora $-3-3=-6$

Quindi il  risultato finale di tale limite è $-6$.

In questo caso non è necessario scomodare Ruffini; per prima cosa devi mettere in evidenza una $x$ sia al num che al den:

$x(x^2-9)/x(x+3)$ a questo punto semplifica la $x$ e ti rimane $(x^2-9)/(x+3)$. 

Adesso devi vedere il prodotto notevole $x^2-9$ che è nella forma $a^2-b^2$ e quindi si può scrivere come $(x+3)(x-3)$. Quindi la tua espressione può essere scritta come 

$(x+3)(x-3)/(x+3)$

Semplifichi $x+3$ e ti è rimasto soltanto $x-3$ che per x tendente a -3 risulta dare come risultato -6.