LIMITE

Ciao.

Esaminiamo dentro il modulo, un rapporto tra 2 potenze aventi lo stesso esponente pari ad  n^2

Andiamo a calcolare preventivamente tale rapporto.

Essendo:

2 - 2/(n + 2) = (2·n + 2)/(n + 2)

-2 + 2/(n + 1) = - 2·n/(n + 1)

Il rapporto in esame è pari a:

(2·n + 2)/(n + 2)·(- (n + 1)/(2·n)) = - (n + 1)^2/(n·(n + 2))

Quindi ci siamo riportati al calcolo del limite:

ABS((- (n + 1)^2/(n·(n + 2)))^n^2) per n---> +inf

siccome il tutto è in valore assoluto, se consideriamo l'argomento, possiamo cambiare il segno e scrivere:

((n + 1)^2/(n·(n + 2)))^n^2= (((n^2 + 2·n) + 1)/(n^2 + 2·n))^n^2 =

=(1 + 1/(n^2 + 2·n))^n^2

Quindi:

LIM((1 + 1/(n^2 + 2·n))^n^2) = e

n--->+∞

 

 

 

 

Rapidamente

 

lim_n   | (2 - 2/(n+2))^(n^2) /(- 2 + 2/(n+1))^n^2 | = 

 

= lim_n  2^(n^2) / 2^(n^2) * lim_n ( 1 - 1/(n+2) )^(n^2)/(1 - 1/(n+1))^(n^2) 

 

ora lim_n ( 1 - 1/(n+k) )^(n^2) = 

= lim_n ( 1 - 1/(n+k) )^((n+k)* n^2/(n+k)) = 

= [ lim_n ( 1 - 1/(n+k))^(n+k) ]^(lim_n   n^2/(n+k) ) = 

= (e^(-1))^(n^2/(n+k)) 

 

per cui il rapporto al secondo fattore va come 

e^(-n^2/(n+2)) * e^(n^2/(n+1)) = 

 

= e^[n^2/(n^2 + 3n+2) * ((n+2)-(n-1))] = 

= e^[n^2/(n^2 + 3n + 2) ]

e il limite per n->oo é e^1 = e.