Salve, sto risolvendo questo esercizio però non riesco ad andare avanti, da dove sbucano i +2 che ho evidenziato? Grazie.
Sia $\oplus: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ la legge di composizione interna su $\mathbb{Z}$ così definita:
$$
\forall x, y \in \mathbb{Z}, x \oplus y=x+y+2 .
$$
a) Verificare che $\oplus$ è associativa
b) determinare l'elemento neutro della struttura $(\mathbb{Z}, \oplus)$
c) determinare l'elemento opposto di ogni elemento di $\mathbb{Z}$ rispetto alla legge di composizione $\oplus$
d) verificare che $(\mathbb{Z}, \oplus)$ è un gruppo abeliano
e) $(*)$ usando il principio di induzione completa, verificare che per ogni $n \in \mathbb{N}$ e per ogni $x \in \mathbb{Z}$ il multiplo $n \cdot x$ di $x$ secondo $n$ rispetto a $\oplus$ è
$$
n \cdot x=n x+2 n-2 ;
$$
f) $\left(^{*}\right)$ verificare che (1) vale per ogni $n \in \mathbb{Z}$ e per ogni $x \in \mathbb{Z}$
g) $\left(^{*}\right)$ verificare che $(\mathbb{Z}, \oplus)$ è ciclico, in quanto generato da $-1$.
Soluzione
1a) Si ha $\forall x, y, z \in \mathbb{Z}$
$$
(x \oplus y) \oplus z=(x+y+2) \oplus z=(x+y+2)+z+2=x+y+z+4
$$
$x \oplus(y \oplus z)=x \oplus(y+z+2)=x+(y+z+2)+2=x+y+z+4$,
da cui segue l'associatività della struttura.
