Le funzioni

y = 2·COS(x + pi/4) - 1

Si parte dalla funzione y=COS(x)

Si ottiene amplificando l'ampiezza del coseno per 2; traslandola in orizzontale verso sinistra della quantità pi/4: ed abbassando verticalmente quanto ottenuto di 1 unità.

C.E. :   R

Insieme delle immagini : -3 ≤ y ≤ 1

Poniamo:

α = x + pi/4

{y = 2·COS(α) - 1

{y = 0

si annulla per COS(α) = 1/2

α = - pi/3 ∨ α = pi/3

in generale con k intero:

α = pi/3 + 2·k·pi ∨ α = - pi/3 + 2·k·pi

x = (pi/3 - pi/4) + 2·k·pi ∨ x = (- pi/3 - pi/4) + 2·k·pi

x = pi/12 + 2·k·pi ∨ x = - 7·pi/12 + 2·k·pi

per k = 0 : x = - 7·pi/12 ∨ x = pi/12

per k = 1 : x = 25·pi/12 ∨ x = 17·pi/12

In corrispondenza di tali zeri per la funzione in studio abbiamo asintoti verticali per la sua funzione reciproca per i massimi e minimi relativi bisogna considerare i valori reciproci.

Quindi le due funzioni si possono rappresentare come in figura:

In rosso la funzione in esame; in blu la sua reciproca:

y = 1/(2·COS(x + pi/4) - 1)

f(x)= 2·COS(x + pi/4) - 1

f(x - pi/2)=2·COS((x - pi/2) + pi/4) - 1= 2·COS(x - pi/4) - 1

Quindi bisogna risolvere l'equazione:

2·(2·COS(x - pi/4) - 1) + 4 = 0

4·COS(x - pi/4) - 2 + 4 = 0

COS(x - pi/4) = (2 - 4)/4

COS(x - pi/4) = - 1/2

α = x - pi/4

COS(α) = - 1/2

α = 4·pi/3 ∨ α = 2·pi/3

In generale:

x = 19·pi/12 + 2·k·pi ∨ x = 11·pi/12 + 2·k·pi

Nell'intervallo: -pi ≤ x ≤ pi

Si ottengono le soluzioni:

x = 19·pi/12 ∨ x = 11·pi/12  per k = 0

x = - 13·pi/12 ∨ x = - 5·pi/12 per k=-1

In grassetto le soluzioni che si devono considerare.