le funzioni

Question

Data la funzione f(x)= frac {a x-2}{x-2 a} a. determina per quali valori di a esiste almeno una x tale che f(x)=a;b. verifica che, al variare di a, f(x)$ non è mai suriettiva;c. calcola per quali valori di a la funzione f(x)$ è invertibile;d. determina, relativamente ai valori di a trovati nel punto c, l'equazione della funzione g(x)$ la cui inversa è proprio la funzione f(x)$.  left  lceil  text { a) } a=-1, a=1  text {; c) } a  neq +/- 1  text {; d) } y= frac {2(a x-1)}{x-a} right  rceil  [attach]59561[/attach] buonasera, qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere il numero 38? grazie mille

EidosM · Answer

Dalla pagina non si capisce qual é. Posso immaginare l'ultimo ma anche così la traccia non si legge completamente.

EidosM · Answer

a) Poniamo (ax - 2)/(x - 2a) = a

con x =/= 2a risulta

ax - 2 = ax - 2a^2

2a^2 = 2

a^2 = 1

a = -1 V a = 1

b) se a^2 =/= 1 abbiamo già dimostrato che a

non é nel codominio e quindi questo non é R.

Se a = 1

y = (x - 2)/(x - 2) = 1 per ogni x tranne 2 :

il valore della funzione é 1 oppure non esiste

Tutti gli altri elementi di R non vengono assunti e la funzione

non é suriettiva

se a = -1

y = (-x-2)/(x+2) = -1 per x =/= -2

e si ripete il discorso precedente con gli opportuni aggiustamenti.

c) La funzione é omografica, con c =/= 0.

Per essere invertibile basta che presenti D =/= 0

bc - ad =/= 0

-2*1 - a*(-2a) =/= 0

a^2 - 1 =/= 0

a=/= -1 e a =/= 1

d) Determinazione dell'inversa, che sarà anch'essa omografica

(ax - 2)/(x - 2a) = y

ax - 2 = xy - 2ay

xy - ax = 2ay - 2

(y - a) x = 2(ay - 1)

(x - a) y = 2(ax - 1)

y = 2(ax - 1)/(x - a)

EidosM

(@eidosm)

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02/11/2023 08:34

exProf · Answer

La famiglia di funzioni omografiche* Γ(a) ≡ f(x) = y = (a*x - 2)/(x - 2*a)rappresenta il fascio di iperboli centrate in C(2*a, a) con asintoti* x = 2*a* y = a------------------------------a) f(x) = a ≡ (a*x - 2)/(x - 2*a) = a ≡≡ (a*x - 2) - a*(x - 2*a) = 0 ≡≡ 2*(a - 1)*(a + 1) = 0 ≡≡ a = ± 1------------------------------b) La presenza dell'asintoto x = 2*a impedisce la surjettività.------------------------------c) y = (a*x - 2)/(x - 2*a) ≡≡ (x = 2*(1 - a*y)/(a - y)) & (a != y) ≡≡ (x = 2*(1 - a*y)/(a - y)) & (a != ± 1)------------------------------d) Rifiuto la pessima americanata di marcare l'inversA come se fosse l'inversO: in italiano aggettivi e participî godono di genere e numero che ne modificano il significato.* inv[f(x)] = (y = 2*(1 - a*x)/(a - x)) & (x != a) & (a != ± 1)

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Domande