[Risolto] La parabola e la retta

La retta del fascio
* r(k) ≡ y = k
interseca la parabola del fascio
* Γ(s, p) ≡ y = x^2 - s*x + p
nelle soluzioni del sistema
* (y = k) & (y = x^2 - s*x + p) ≡
≡ ((s - √(s^2 + 4*(k - p)))/2, k) & ((s + √(s^2 + 4*(k - p)))/2, k)
distanti
* d(k, p, s) = √(s^2 + 4*(k - p))
che è nulla per
* k = p - s^2/4
e che è reale positiva per
* (p < k) oppure ((p = k) & (s != 0)) oppure ((p > k) & (s != ± 2*√(p - k)))
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Per
* Γ(0, - 4) ≡ y = x^2 - 4
si ha
* (- 4 < k) oppure ((- 4 = k) & (0 != 0)) oppure ((- 4 > k) & (0 != ± 2*√(- 4 - k))) ≡
≡ k != - 4
---------------
Per
* Γ(4, 4) ≡ y = (x - 2)^2 = x^2 - 4*x + 4
si ha
* (4 < k) oppure ((4 = k) & (4 != 0)) oppure ((4 > k) & (4 != ± 2*√(4 - k))) ≡
≡ k != 0
---------------
Sotto la condizione restrittiva k ∉ {- 4, 0} si ha
* d(k, - 4, 0) = √(0^2 + 4*(k + 4)) = 2*√(k + 4)
* d(k, 4, 4) = √(4^2 + 4*(k - 4)) = 2*√k
Si ottiene il sistema risolutivo
* (2*√(k + 4) = 3*2*√k) & (k ∉ {- 4, 0}) ≡
≡ (k = 1/2) & (k ∉ {- 4, 0}) ≡
≡ k = 1/2
che è proprio il risultato atteso.

chiamata la retta parallela all'asse x $y=t$ si deduce che:

$y=x^2-4$

$y=t$

allora: $x^2-4-t=0$ con $t>-4$ (condizione affinchè sia secante) sia: $\pm\sqrt{4+t}$, distanza tra i due punti con i quali vi è l'intersezione fra retta e parabola: $2\sqrt{4+t}$, segue simmetricamente:

$y=(x-2)^2$

$y=t$

allora: $x^2-4x+4-t=0$ con $t>0$ (condizione affinchè sia secante) sia: $2\pm\sqrt{t}$, distanza tra i due punti con i quali vi è l'intersezione fra retta e parabola: $2\sqrt{t}$ segue:

$2\sqrt{4+t}=3(2\sqrt{t})$ -> $t=1/2$