la parabola

@natalya_moysyuk

Ciao.

y= ax^2+bx+c

Se passa per T(1,2) e passa per P(-1,1)

hai due equazioni a disposizione che ti permettono di ridurre le incognite da 3 ad 1 sola. Poi vedi un po' tu.

Dovresti ottenere: y = 1/4·x^2 + 1/2·x + 5/4

{2 = a·1^2 + b·1 + c

{1 = a·(-1)^2 + b·(-1) + c

quindi: 

{a + b + c = 2

{a - b + c = 1

------------------(sottrai la seconda dalla prima)

2·b = 1---> b = 1/2

Dalla 1^ (dalla 2^ ottieni la stessa cosa)

a + 1/2 + c = 2-----> a + c = 3/2

c = 3/2 - a quindi:

{y = a·x^2 + 1/2·x + (3/2 - a)

{y = x + 1

x + 1 = a·x^2 + 1/2·x + (3/2 - a)

a·x^2 + 1/2·x + (3/2 - a) - (x + 1) = 0

a·x^2 - x/2 - a + 1/2 = 0

2·a·x^2 - x - 2·a + 1 = 0

quindi imponi le condizioni di tangenza:

Δ = 0----> (-1)^2 - 8·a·(1 - 2·a) = 0----> 16·a^2 - 8·a + 1 = 0

(4·a - 1)^2 = 0---> a = 1/4

c = 3/2 - 1/4---> c = 5/4

quindi finalmente: y = 1/4·x^2 + 1/2·x + 5/4

"Come dovrei risolverlo?"
Cara Natalya, forse non sai che parlando di matematica in italiano il modo condizionale è ammesso solo nelle dimostrazioni per assurdo.
Se il problema t'è stato assegnato allora DEVI RISOLVERLO, non "dovresti" (oppure rinunci all'incarico); e se non t'è stato assegnato e quindi NON DEVI risolverlo, non c'è motivo per cui "dovresti": in entrambi i casi il condizionale c'entra come i cavoli a merenda.
Inoltre, come non mi stanco di dire in casi come questo, nelle domande si devono esporre considerazioni e quesiti che riguardano il problema presentato e non gli stati d'animo del richiedente: i tuoi obblighi, veri o presunti, con la determinazione richiesta come c'entrano?
Ah, sì: come i cavoli a merenda.
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Un possibile modo di risolverlo è: usando i dati uno dopo l'altro nell'ordine più economico, che non è detto sia quello della loro presentazione, per costruire un modello matematico del problema.
Elaborando poi il modello o si ottiene il risultato o si dimostra di non poter ottenerlo.
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A) "con asse parallelo all’asse delle y"
quindi con equazione di forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
espressa in funzione di
* apertura "a != 0"
* vertice V(w, h)
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B) "passante per P(−1, 1)"
la condizione d'appartenenza dà
* 1 = h + a*(- 1 - w)^2 ≡ a*(w + 1)^2 + h = 1 ≡ h = 1 - a*(w + 1)^2
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C) "tangente alla retta y = x + 1 in T (1, 2)"
condizione doppia, comporta due dati da applicare uno per volta.
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C1) "... in T (1, 2)"
la condizione d'appartenenza dà
* 2 = h + a*(1 - w)^2 ≡ a*(w - 1)^2 + h = 2 ≡ h = 2 - a*(w - 1)^2
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C2) "tangente alla retta y = x + 1 ..."
la condizione di tangenza, due punti comuni coincidenti, si applica alla soluzione di
* (y = x + 1) & (y = h + a*(x - w)^2) & (h = 1 - a*(w + 1)^2) & (h = 2 - a*(w - 1)^2) & (a != 0) ≡
≡ (y = x + 1) & (h = 1 - a*(w + 1)^2) & (x + 1 = 1 - a*(w + 1)^2 + a*(x - w)^2) & (1 - a*(w + 1)^2 = 2 - a*(w - 1)^2) & (a != 0) ≡
≡ (y = x + 1) & (h = 1 - a*(w + 1)^2) & (w = - 1/(4*a)) & ((x = 1) oppure (x = (1 - 2*a)/(2*a))) & (a != 0)
quindi la condizione di tangenza è
* x = 1 = (1 - 2*a)/(2*a) ≡ a = 1/4
da cui
* y = 2, cioè il punto di tangenza è proprio T(1, 2)
* w = - 1/(4*1/4) = - 1
* h = 1 - (- 1 + 1)^2/4 = 1
e infine
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 ≡
≡ y = 1 + (x + 1)^2/4 ≡
≡ y = (x^2 + 2*x + 5)/4