[Risolto] La cinematica

Il tempo impiegato a percorrere il primo tratto è:

$ t_1 = \frac{x_1}{v_1}$

mentre per il secondo tratto è:

$ t_2 = \frac{x_2}{v_2}$

La velocità sull'intero tratto sarà dunque:

$ v = \frac{x_1+x_2}{t_1+t_2} = \frac{x_1+x_2}{\frac{x_1}{v_1}+\frac{x_2}{v_2}}$

D'altra parte sappiamo che la velocità media sull'intero percorso è pari alla media geometrica:

$ v = \sqrt{v_1 \cdot v_2}$

Dunque sostituendo abbiamo:

$\sqrt{v_1 \cdot v_2} = \frac{x_1+x_2}{\frac{x_1}{v_1}+\frac{x_2}{v_2}}$

Facendo mcm al secondo membro:

$\sqrt{v_1 \cdot v_2} = \frac{x_1+x_2}{\frac{x_1v_2+x_2v_1}{v_1 v_2}} $

Ora faccio l'mcm tra tutto:

$\sqrt{v_1 \cdot v_2} \cdot \frac{x_1v_2+x_2v_1}{v_1 v_2}= x_1+x_2$

E semplificando le velocità:

$\frac{x_1v_2+x_2v_1}{\sqrt{v_1 v_2}}= x_1+x_2$

Di nuovo mcm:

$x_1v_2+x_2v_1= x_1\sqrt{v_1 v_2}+x_2\sqrt{v_1 v_2}$

Ora separo i termini con $x_1$ e $x_2$:

$x_1v_2-x_1\sqrt{v_1 v_2} = x_2\sqrt{v_1 v_2} -x_2v_1$

e metto in evidenza:

$x_1(v_2-\sqrt{v_1 v_2}) = x_2(\sqrt{v_1 v_2} -v_1)$

Dividendo e moltiplicando opportunamente otteniamo quindi:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{\sqrt{v_1 v_2} -v_1}{v_2-\sqrt{v_1 v_2}}$

Ora razionalizzo a destra:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{\sqrt{v_1 v_2} -v_1}{v_2-\sqrt{v_1 v_2}} \cdot \frac{v_2+\sqrt{v_1 v_2}}{v_2+\sqrt{v_1 v_2}} $ 

e svolgendo i calcoli ottengo:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{v_2 \sqrt{v_1v_2}+v_1v_2-v_1v_2-v_1\sqrt{v_1v_2}}{v_2^2-v_1v_2}$

Semplifico i termini che si elidono e metto in evidenza:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{\sqrt{v_1v_2}(v_2-v_1)}{v_2(v_2-v_1)}$

da cui

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{\sqrt{v_1v_2}}{v_2}$

Portando sotto radice il denominatore:

$\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{\frac{v_1v_2}{v_2^2}}$

e semplificando:

$\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{\frac{v_1}{v_2}}$

Noemi