Isometrie

t1:

{x' = 2-x

{y'= -1-y

è una simmetria centrale rispetto al punto (1,-1/2)

t2:

{x' =-y

{y'=x

è una rotazione di 90° in senso antiorario intorno all'origine

t3:

{x'=y

{y'= x

è una riflessione rispetto alla retta y=x

Calcolo di t1°t2

Siano (x, y) le coordinate originali e (x', y') le coordinate dopo l'applicazione di t2 e (x'',y'') le coordinate dopo l'applicazione di t1 a (x',y'):

t2:

{x' =-y

{y'=x

t1:

{x''=-x'+2

{y''=-y'-1

Sostituiamo le equazioni di t2 in quelle di t1:

{x''= -(-y)+2=y+2

{y''=-x-1

Quindi t1°t2 è definita da:

{x''=y+2

{y''=-x-1

Verifica che corrisponde ad una rotazione di 90° in senso orario rispetto ad un punto (a,b)

(da determinare)

Per una rotazione di questo tipo si deve avere:

{x''=(x - a)·COS(- 90°) - (y - b)·SIN(- 90°) + a

{y''=(x - a)·SIN(- 90°) + (y - b)·COS(- 90°) + b

Quindi:

{x'' = y + a - b

{y'' = -x + a + b

Confrontando con quanto ottenuto in precedenza si deve avere:

{a - b = 2

{a + b = -1

risolvendo si ottiene: [a = 1/2 ∧ b = - 3/2]

Quindi il centro di rotazione è (1/2,-3/2)

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Calcolo di t2°t3

t3:

{x'=y

{y'=x

t2:

{x''=-y'

{y''=x'

Sostituiamo le equazioni di t3 in quelle di t2:

{x'' = -x

{y'' = y

che definisce una riflessione rispetto all'asse y