iperbole

Con i fuochi sull'asse y e l'asse trasverso che misura 6 l'iperbole Γ ha
* centro C(0, k)
* fuochi F(0, k ± c) = (0, k ± √(a^2 + b^2))
* semiasse b = 3
* equazione Γ ≡ (x/a)^2 - ((y - k)/3)^2 = - 1
Il sistema fra Γ e la retta
* t ≡ y = 9*x/8 + 3/2 = 3*(3*x + 4)/8
* (y = 3*(3*x + 4)/8) & ((x/a)^2 - ((y - k)/3)^2 = - 1)
ha risolvente
* 9*x^2 - (a^2)*(3*(3*x + 4)/8 - k)^2 + 9*a^2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere nullo
* Δ(a, k) = (9/16)*(81*a^2 + 64*k^2 - 192*k - 432)*a^2
quindi da
* (81*a^2 + 64*k^2 - 192*k - 432 = 0) & (a > 0) ≡
≡ (a = (8/9)*√(- (k + 3/2)*(k - 9/2))) & (- 3/2 < k < 9/2)
si ha, con la condizione restrittiva "- 3/2 < k < 9/2", il fascio
* Γ(k) ≡ (x/((8/9)*√(- (k + 3/2)*(k - 9/2))))^2 - ((y - k)/3)^2 = - 1 ≡
≡ 729*x^2 + 16*(4*k^2 - 12*k - 27)*y^2 - 32*(4*k^3 - 12*k^2 - 27*k)*y + 16*(4*k^4 - 12*k^3 - 63*k^2 + 108*k + 243) = 0
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Esempio
Per i soli valori interi di k si hanno le iperboli
* Γ(- 1) ≡ 729*x^2 - 176*y^2 - 352*y + 1408 = 0
* Γ(0) ≡ 729*x^2 - 432*y^2 + 3888 = 0
* Γ(1) ≡ 729*x^2 - 560*y^2 + 1120*y + 4480 = 0
* Γ(2) ≡ 729*x^2 - 560*y^2 + 2240*y + 2800 = 0
Il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3*%283*x--4%29%2F8%2C729*x%5E2-176*y%5E2-352*y--1408%3D0%2C729*x%5E2-432*y%5E2--3888%3D0%2C729*x%5E2-560*y%5E2--1120*y--4480%3D0%2C729*x%5E2-560*y%5E2--2240*y--2800%3D0%5D
mi pare troppo affollato per distinguere i punti di tangenza.
Dovresti avere la pazienza di riprovarci tu con una sola iperbole per volta.