IPERBOLE

L'equazione
32) Γ(k) ≡ k*x^2 - (k^2 - 1)*y^2 = 1 ≡ k*x^2 + (1 - k^2)*y^2 = 1
rappresenta un fascio di coniche
* Γ(0) ≡ y^2 = 1: parabola degenere sulla coppia di parallele y = ± 1;
* Γ(± 1) ≡ x^2 = 1: parabola degenere sulla coppia di parallele x = ± 1;
* k ∉ {- 1, 0, 1}: coniche a centro non degeneri, centrate nell'origine e riferite ai proprî assi di simmetria, riducibili alla forma
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
con i semiassi (a = 1/√k, b = 1/√(1 - k^2)) positivi e i doppi segni indipendenti e cioè con le seguenti distinzioni di casi.
A) Sui segni
0) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole con fuochi sull'asse y
1) (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1: iperbole con fuochi sull'asse x
2) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse immaginaria
3) (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1: ellisse reale
B) Sui semiassi
a) a > b > 0: ellisse con fuochi sull'asse x; iperbole indifferente
b) a = b > 0: ellisse senza fuochi (circonferenza); iperbole equilatera
c) b > a > 0: ellisse con fuochi sull'asse y; iperbole indifferente
Riassumendo: l'equazione 32, al variare di k, può rappresentare una dozzina di coniche diverse.
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Risposte ai quesiti
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a) "A0 ∨ A1" ≡ k*(1 - k^2) < 0 ≡ (- 1 < k < 0) oppure (k > 1)
b) "A1" ≡ (k > 0) & (1 - k^2 < 0) ≡ (k > 1)
c) "A0" ≡ (k < 0) & (1 - k^2 > 0) ≡ (- 1 < k < 0)
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d) "A1 ∧ a = 1/2" ≡ (k > 1) & (1/√k = 1/2) ≡ k = 4
http://www.wolframalpha.com/input?i=4*x%5E2-15*y%5E2%3D1
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e) "A1 ∧ e = √(5/3)" ≡ (k > 1) & (c/a = √(5/3)) ≡
≡ (k > 1) & (√(a^2 + b^2)/a = √(5/3)) & (a = 1/√k) & (b = 1/√(1 - k^2)) ≡
≡ (k > 1) & (k = 1/2) ≡
≡ impossibile