Interpretazione grafica di un'equazione di secondo grado

Equivale al sistema 

{ y = x^2 - 2x - 1

{ y = 0.

Non rimane quindi che disegnare la parabola di equazione y = x^2 - 2x - 1

e intersecarla con l'asse x. 

Rivolta verso l'alto con xV = 2/2 = 1 e yV = 1 - 2 - 1 = -2 

Puoi tracciare un altro punto, ad esempio xK = 2 e yK = 4 - 4 - 1 = -1 

K = (2, -1)

https://www.desmos.com/calculator/rcc7hbdmdi

Come già affermato risolvere l'equazione data equivale a risolvere il sistema

$ \begin{cases} y = 0 \\ y = x^2-2x-1 \end{cases} $

cioè trovare i punti di intersezione tra l'asse delle ascisse (y = 0) e la parabola (y = x^2 - 2x - 1) 

La forma della seconda equazione ci dice che si tratta di una parabola convessa (pancia in giù) con asse di simmetria parallelo all'asse delle y.

Determiniamo le coordinate del vertice

$ V(-\frac{b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a}) = V(1, -2)$

Disegniamo la parabola osservando che il termine noto c = -1 dal quale deduciamo P(0,c) e Q(2Vx, c) (nota: Q è il simmetrico di P rispetto all'asse di simmetria).

Determiniamo le due soluzioni dell'equazione di secondo grado

1. $1-\sqrt{2} ≝ A$
2. $1+\sqrt{2} ≝ B$

che come abbiamo già detto sono le due intersezioni dell'asse delle x con la parabola. (vedi grafico)

https://www.desmos.com/calculator/fiywhuplle

intersezioni con l'asse x:  y = 0;

x^2 - 2x - 1 = 0

x = [1 +- radice(1 + 1)] ;

x1 = 1 + radice(2) = 2,414;

x2 = 1 - radice(2) = - 0,414.

Vertice:

2x - 2 = 0,

x = 2/2 = 1,

y = 1^2 - 2 * 1  - 1 = - 2;

V (1; - 2);

Asse di simmetria :  x = 1; parallela all'asse y.

@barbaraiman  ciao.

Interpreta graficamente la seguente equazione di secondo grado:

X²-2x-1=0

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$\small x^2-2x-1=0$

$\small\text{equazione di secondo grado completa, parabola, con:}$

$\small a= 1;\; b= -2;\; c= -1$

$\small a>1 \text{ quindi parabola avente concavità verso l'alto};$

$\small\text{discriminante per calcolare i punti in ascisse:}$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-2)^2-(4·1·-1) = 4-(-4) = 4+4 = 8;$

$\small\text{delta positivo, quindi avrai due soluzioni reali e distinte;}$

$\small\text{applica la formula risolutiva:}$

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2)\pm\sqrt8}{2·1} = \dfrac{2\pm2\sqrt2}{2}\;\text{ per cui:}$

$\small x_1= \dfrac{\cancel2^1-\cancel2^1\sqrt2}{\cancel2_1} = 1-\sqrt2\quad (\approx-0,4142);$

$\small x_2= \dfrac{\cancel2^1+\cancel2^1\sqrt2}{\cancel2_1} = 1+\sqrt2\quad (\approx2,4142);$

$\small\text{i bracci della parabola passano nei punti -0,4142 e +2,4142 dell'ascissa;}$

$\small\text{calcola le coordinate del vertice della parabola:}$

$\small\text{coordinata: \(x_v= -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2·1} = -\dfrac{-2}{2} = -(-1) = 1;\)}$ 

$\small\text{coordinata: \(y_v= -\dfrac{b^2-4ac}{4a} = -\dfrac{(-2)^2-(-4)}{4·1}= -\dfrac{4+4}{4} = -\dfrac{8}{4}=-2;\)}$ 

$\small\text{grafico:}$

$\small\text{come vedi nel grafico l'asse di simmetria, passando per il vertice, è parallelo alle ordinate e in x= 1}$

grafico :