[Risolto] Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

Problema:

Si risolva il seguente integrale indefinito:

$\int \frac{x²-1}{(x+2)²}dx$

Soluzione:

Prima di scegliere il metodo da utilizzare è opportuno riscrivere l'integrale come segue:

$\int \frac{x²-1}{(x+2)²}dx=\int \frac{x²-1+4x+4-4x-4}{(x+2)²}dx=\int \frac{(x²+2)²-4x-5}{(x+2)²}dx$

Nota: negli integrali l'arte del saper aggiungere e togliere fa la differenza.

Per la linearità dell'integrale si ha:

$\int \frac{(x²+2)²-4x-5}{(x+2)²}dx=\int \frac{(x²+2)²}{(x²+2)²}dx-\int \frac{4x+5}{(x+2)²}dx=\int dx - \int \frac{4x+5}{(x+2)²}dx=x-\int \frac{4x+5}{(x+2)²}dx$

Il secondo integrale può essere risolto tramite l'utilizzo dei fratti semplici con $∆=0$.

$\frac{4x+5}{(x+2)²}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+2)²}$

$4x+5=A(x+2)+B$

$4x+5=Ax+(2A+B)$

Da ciò, per "principio di identità" si ottiene:

$A=4, 2A+B=5$

$8+B=5 \rightarrow B=-3$

L'espressione può essere dunque riscritta come

$x-\int \frac{4x+5}{(x+2)²}dx=x-(\int \frac{4}{(x+2)}+\frac{-3}{(x+2)²}dx)=x-4\ln|x+2|+3\int \frac{1}{(x+2)²}$

Procedendo per sostituzione $u=x+2 \rightarrow du=dx$ si ottiene:

$x-4\ln|x+2|+3\int \frac{1}{(x+2)²}=x-4\ln|x+2|+3\int \frac{1}{(u)²}=x-4\ln|x+2|-\frac{3}{u}+c$

Ossia:

$\int \frac{x²-1}{(x+2)²}dx=x-4\ln|x+2|-\frac{3}{x+2}+c, c \in \mathbb{R}$