Integrazione di funzioni razionali

Sarebbe utile spezzare la funzione integranda, ma in questo caso la decomposizione è inapplicabile, quindi cerchiamo qualche ignobile trucchetto

$ \frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{2e^x-(e^x+1)}{e^x+1} = \frac {2e^x}{e^x + 1} - 1 $

Passando all'integrale si capisce il perché del trucco

$ \int \frac{e^x-1}{e^x+1} \, dx = \int \frac {2e^x}{e^x + 1} \, dx  - x = \; ⊳ $

per sostituzione. Poniamo $ t = e^x +1 \; ⇒ \; dt = e^x dx $

$  ⊳ \; = 2\int \frac{1}{t} \, dt + x = 2ln|t| - x + c = 2ln(e^x +1) - x + c = F(x) $ 

Imponiamo che F(x) abbia un punto di minimo nell'origine cioè 

1. $ F(0) = 0  \; ⇒ \; 2ln(2) - 0 + c =0 \; ⇒ \; c = - 2 ln2$

questa è la primitiva che passa per l'origine

$ F(x) = 2ln(e^x +1) - x -2 ln2 $

2. Verifichiamo che è un punto stazionario, cioè che f(0) = 0. Si è così

3. Verifichiamo che trattasi di un minimo tramite il segno della sua derivata prima

• Se x < 0 allora f(x) < 0 quindi F(x) è decrescente in (-∞, 0)
• Se x = 0 allora f(x) = 0 è un punto stazionario per F(x)
• Se x > 0 allora f(x) > 0 quindi F(x) è crescente in (0, +∞)

quindi si tratta di un minimo locale e anche assoluto.