Integrazione di funzioni razionali

1.  Procediamo con la divisione. $ \frac{x^2-1}{x^2-4} = 1+ \frac{3}{x^2-4} $

2. Passiamo alla decomposizione 

$ \frac{3}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2} $

$ 3 =Ax+2A + Bx-2B $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ 2(A-B) &= 3 \end{aligned} \right. $ 
la soluzione è

• $A = \frac{3}{4}$
• $B = -\frac{3}{4}$

$ F(x) = \int 1 \, dx + \frac{3}{4}[\int \frac{1}{x-2} \, dx - \int \frac{1}{x+2} \, dx] = x + \frac{3}{4}[ln|x-2|  - ln|x+2|] + c =  \frac{3}{4}[ln(\frac{|x-2|}{|x+2|})] + x + c $

La retta y = x+2 sarà un asintoto della funzione se la funzione differenza tra F(x) e retta ha un limite nullo per x→±∞.

$ \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} F(x) - x - 2 = 0 $

$ \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac{3}{4}[ln(\frac{|x-2|}{|x+2|})] + x + c - x - 2 = 0 $

$ \displaystyle\lim_{x \to ±\infty} \frac{3}{4}[ln(\frac{|x-2|}{|x+2|})] + c - 2 = 0 $

Il termine con il logaritmo tende a zero quindi, il limite sarà verificato se e solo se c = 2.

La primitiva cercata è

$ F(x) = \frac{3}{4}[ln(\frac{|x-2|}{x+2})] + x + 2 $