Integrazione di funzioni razionali

Le primitive di $f(x) = \frac{1}{(ax)^2+k^2}$ sono:

$ F(x) = \int \frac{1}{(ax)^2+k^2} \, dx = \frac{1}{ak} arctan( \frac{a}{k} x) + c $  in fondo è riportato il dettaglio.

La primitiva che passa per l'origine sarà data dalla

$ F(0) = 0$

$ \frac {arctan (0)}{ak} + c = 0 \; ⇒ \; c = 0 $

$ F(x) = \frac{1}{ak} arctan( \frac{a}{k} x) $

la funzione f(x) è positiva per ogni valore di x, ragion per cui, la primitiva F(x) è una funzione strettamente crescente.

Studiamo il comportamento alla frontiera.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = -\frac{\pi}{2} $

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = \frac{\pi}{2} $  

Essendo F(x) una funzione continua ne consegue che la sua immagine è l'intervallo

$ ImmF(x) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $

Ora calcoliamo l'integrale, sospeso in precedenza.

$ F(x) = \int \frac{1}{(ax)^2+k^2} dx = $

per sostituzione. Poniamo $t = ax \; ⇒ \; dx = \frac{dt}{a}$

$ = \frac{1}{a} \int \frac{1}{t^2+k^2} dt = \frac{1}{ak^2} \int \frac{1}{(\frac{t}{k})^2+1} dt =$

per sostituzione. Poniamo $v = \frac{t}{k} \; ⇒ \; k\, dv = dt $

$ = \frac{k}{ak^2} \int \frac{1}{v^2 + 1} dv =  \frac{1}{ak} \int \frac{1}{v^2 + 1} dv = \frac{1}{ak} arctan\, v = \frac{1}{ak} arctan \left( \frac{t}{k} \right) = \frac{1}{ak} arctan \left( \frac{ax}{k} \right)  + c $