Spiega i passaggi.
Spiega i passaggi.
11881
punti
Livello 2
Procediamo con la divisione. $ \frac{x^2-4}{x^2-2x+1} = 1 + \frac{2x-5}{x^2-2x+1} $ per cui
$ \int \frac{x^2-4}{x^2-2x+1} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{2x-5}{(x-1)^2} \, dx = x + \int \frac{2x-5}{(x-1)^2} \, dx = \; ⊳ $
Procediamo con la decomposizione
$ \frac{2x-5}{(x-1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} $
$ 2x - 5 = Ax-A +B $ dalla quale ricaviamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} -A+B &= -5 \\ A &= 2 \end{aligned} \right. $
la soluzione è
$ ⊳ \; = x + 2\int \frac{1}{x-1} \, dx - 3 \int \frac{1}{(x-1)^2} \, dx = 2 ln|x-1| + \frac{3}{x-1} + c $
per cui, le primitive sono
$ F(x) = x + 2 ln|x-1| + \frac{3}{x-1} + c $
La primitiva che passa per P(2,1) sarà
$ F(2) = 1 $
$ 2+ 2 ln|2-1| + \frac{3}{2-1} + c = 1 $
$ 2+ 0 + 3 + c = 1 $
$ c = -4 $
$ F_2(x) = x + 2 ln|x-1| + \frac{3}{x-1} -4 $
21742
punti
Livello 6
16274
punti
Livello 8