[Risolto] Integrali X sostituzione.

Problema:

Risolvere il seguente integrale definito:

$\int_0^1 \frac{x²}{\sqrt{3+x²}}dx$

Soluzione:

Si pone

\[
x = \sqrt{3} \tan\theta \quad \Rightarrow \quad dx = \sqrt{3} \sec^2\theta\,d\theta
\]

Allora:

$\begin{align*}
x^2 &= 3 \tan^2\theta \\
3 + x^2 &= 3 + 3 \tan^2\theta = 3 \sec^2\theta \\
\sqrt{3 + x^2} &= \sqrt{3} \sec\theta
\end{align*}$

Sostituendo tutto nell'integrale:

\[
\int \frac{3 \tan^2\theta}{\sqrt{3} \sec\theta} \cdot \sqrt{3} \sec^2\theta\,d\theta = \int 3 \tan^2\theta \sec\theta\,d\theta
\]

Ricordando che \( \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 \), si ottiene:

\[
\int 3 \tan^2\theta \sec\theta\,d\theta = \int 3 (\sec^2\theta - 1) \sec\theta\,d\theta = \int (3 \sec^3\theta - 3 \sec\theta)\,d\theta
\]

Utilizziamo le primitive note:

\[
\int \sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2} \sec\theta \tan\theta + \frac{1}{2} \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C
\]
\[
\int \sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C
\]

Pertanto:

$\begin{align*}
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{3 + x^2}}\,dx
&= 3\left( \frac{1}{2} \sec\theta \tan\theta + \frac{1}{2} \ln|\sec\theta + \tan\theta| - \ln|\sec\theta + \tan\theta| \right) \\
&= \frac{3}{2} \sec\theta \tan\theta - \frac{3}{2} \ln|\sec\theta + \tan\theta|
\end{align*}$

Tornando alla variabile \(x\):

$\begin{align*}
\tan\theta &= \frac{x}{\sqrt{3}} \\
\sec\theta &= \sqrt{1 + \tan^2\theta} = \frac{\sqrt{3 + x^2}}{\sqrt{3}} \\
\sec\theta \tan\theta &= \frac{x \sqrt{3 + x^2}}{3} \\
\ln|\sec\theta + \tan\theta| &= \ln\left( \frac{\sqrt{3 + x^2} + x}{\sqrt{3}} \right)
\end{align*}$

Sostituendo:

\[
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{3 + x^2}}\,dx = \left[ \frac{1}{2} x \sqrt{3 + x^2} - \frac{3}{2} \ln\left( \frac{\sqrt{3 + x^2} + x}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1
\]

Calcolo al bordo superiore \(x = 1\):

$\begin{align*}
x \sqrt{3 + x^2} &= 1 \cdot \sqrt{4} = 2 \\
\ln\left( \frac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{3}} \right) &= \ln\left( \frac{3}{\sqrt{3}} \right) = \ln(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \ln 3
\end{align*}$

Quindi:

\[
\left[ \frac{1}{2} x \sqrt{3 + x^2} - \frac{3}{2} \ln\left( \frac{\sqrt{3 + x^2} + x}{\sqrt{3}} \right) \right]_{x=1}
= 1 - \frac{3}{4} \ln 3
\]

Al bordo inferiore \(x = 0\):

\[
x \sqrt{3 + x^2} = 0, \quad \ln\left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \ln(1) = 0
\]

Quindi, per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:

\[
\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{3 + x^2}}\,dx = {1 - \frac{3}{4} \ln 3}
\]