[Risolto] Integrali e derivate

Sia $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,$, continua e derivabile $\forall x \in \mathbb{R}\,$, tale che

\[\frac{d}{dx}\frac{3x + 1}{\sqrt{x^2 + 3}} \qquad f(0) = 1\,.\]

Allora

\[f(x) = \int \frac{3x + 1}{\sqrt{x^2 + 3}}\: dx = \int \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3}}\: dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}\: dx\]

\[\int \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3}}\: dx \:\Bigg|_{\substack{du = 2x\,dx}}^{u = x^2 + 3} + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}\: dx\]

\[3 \sqrt{u} + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \: dx = 3\sqrt{x^2 + 3} + \log{\left(\sqrt{\frac{x^2}{3} + 1} + \frac{x}{\sqrt{3}}\right)} + k \in \mathbb{R}\,.\]

Poiche $f(0) = 1\,$:

\[3\sqrt{x^2 + 3} + \log{\left(\sqrt{\frac{x^2}{3} + 1} + \frac{x}{\sqrt{3}}\right)} + k \in \mathbb{R} + k \:\Bigg|_{\substack{x = 0}} = 1 \implies\]

\[3\sqrt{3} + k = 1 \iff k = 1 - 3\sqrt{3}\,.\]

Allora

\[f(x) = 3\sqrt{x^2 + 3} + \log{\left(\sqrt{\frac{x^2}{3} + 1} + \frac{x}{\sqrt{3}}\right)} + 1 - 3\sqrt{3}\,.\]

Sia $F(x) = f(f(x))\,$ tale che

\[\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}f(f(x)) \cdot \frac{d}{dx}f(x) \: \Bigg|_{\substack{x = 0}} \implies\]

\[\frac{d}{dx}F(0) = \frac{d}{dx}f(f(0) = 1) \cdot \frac{d}{dx}f(0) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,.\]

Nota: non serviva calcolare l'integrale; tuttavia, dato il titolo della domanda, ho deciso di svolgerlo, come ripasso o esercizio per te.

Per la regola di derivazione delle funzioni composte, se F(x) = f(f(x)),

allora

F'(0) = f'(f(0))*f'(0) = f'(1)*f'(0) 

e il calcolo numerico segue subito per sostituzione

F'(0) = (3+1)/rad(1+3) * 1/rad(3) = 4/(2 rad(3)) = 2 rad(3)/3

C'è poco da spiegare, è solo una caterva di riscritture!
* f'(x) = (3*x + 1)/√(x^2 + 3)
* ∫ ((3*x + 1)/√(x^2 + 3))*dx = 3*√(x^2 + 3) + settsinh(x/√3) + c
* f(0) = 3*√(0^2 + 3) + settsinh(0/√3) + c = 1 ≡ c = 1 - 3*√3 ~= - 4.196
* f(x) = 3*√(x^2 + 3) + settsinh(x/√3) - 3*√3 + 1
* F(x) = f(f(x))
* F'(x) = d/dx f(f(x)) = f'(x)*f'(f(x))
* F'(0) = f'(0)*f'(f(0)) = f'(0)*f'(1) = ((3*0 + 1)/√(0^2 + 3))*(3*1 + 1)/√(1^2 + 3) = 2/√3