Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ y'+y = e^{-2x} $
Equazione differenziale lineare non omogenea del 1° ordine
$ y' + y = 0$
$ x+1 = 0 $ polinomio caratteristico
$ x = -1 $ radice del polinomio caratteristico
$ y(x) = c e^{-x} $ Soluzione generale del sistema omogeneo.
La cerchiamo del tipo $ \bar y(x) = a \cdot e^{-2x} $ dalla quale ricaviamo
$ y'(x) =-2ae^{-2x} $
che sostituite nell'equazione data
$ -2ae^{-2x} + ae^{-2x} = e^{-2x} $
$ -2a + a = 1 $
$ a = -1 $
Una soluzione particolare è $ \bar y(x) = - e^{-2x} $
E' la somma delle soluzioni dell'omogenea associata con la soluzione particolare cioè
$ y(x) = c e^{-x} - e^{-2x} $
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Livello 6