Integrali di equazioni lineari

Question

[attach]114630[/attach] [attach]114631[/attach] Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.

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$ y' +  frac {2}{x} y =  frac {1}{x^3+1} $ ODE di primo ordine a coefficienti variabili.  Usiamo la formula del fattore integrante $ y(x) = c . e^{-A(x)} + e^{-A(x)}  int e^{A(t)} b(t) , dt $ dove: a(x) è il coefficiente variabile di y (nel ns. caso 2/x ) A(x) è una primitiva di a(x) b(x) è il termine non omogeneo (nel ns. caso 1/(x^3+1))   Calcoliamo A(x) $ A(x) =  int a(x) dx , dx = 2 int  frac {1}{x} , dx = 2ln(x) = ln(x^2) $   Applichiamo la formula $ y(x) = c . e^{-ln(x^2)} + e^{-ln(x^2)}  int e^{ln(x^2)} .  frac {1}{x^3+1} , dt $ $ y(x) =  frac {c}{x^2}  +  frac {1}{x^2}  int  frac {x^2}{x^3+1} , dt $ $ y(x) =  frac {c}{x^2} +  frac {1}{x^2}  frac {1}{3} ln(x^3+1)  $ $ y(x) =  frac {c}{x^2} +  frac {ln(x^3+1)}{3x^2} $

Integrali di equazioni lineari

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