Integrali con Cauchy

$ \left \{\begin{aligned} y' &= y + x \\ y(0) &= 3 \end{aligned} \right. $

Si tratta di trovare la soluzione generale  dell'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, per poi applicare la condizione di Cauchy in modo tale da determinare il valore della costante c.

1. Soluzione dell'omogenea associata

$ y'  = y $

Quali sono tutte le funzioni che sono eguali alla rispettiva derivata? 

$ y(x) = c \, e^x $       Soluzione generale dell'omogenea

2. Soluzione particolare dell'equazione non omogenea

La soluzione la cerchiamo tra quelle che hanno la forma del tipo

$y(x) = ax + b$

$y'(x) = a $       che introdotta nell'equazione differenziale 

$ y' - y = x $     ci da

$ a - ax - b = x $  per cui

1. -a = 1  ⇒ a = -1
2. a - b = 0  ⇒  b = -1

La soluzione particolare è 

$ \bar y(x) = -x - 1$

3. Soluzione generale dell'equazione non omogenea

E' la somma delle due precedenti

$ y(x) = c \, e^x -x - 1 $

4. Imponiamo la condizione di Cauchy per determinare il valore di c.

$ y(0) = c \cdot 1 - 0 -1 = 3 $

$ c = 4 $ 

La soluzione del problema di Cauchy ( si può dimostrare che, in queste condizioni, esiste ed è unica) è

$ y(x) = 4 e^x -x-1 $