iNTEGRALI

SENZA.

$ \int \frac{1}{x^2+x+3} \, dx = ⊳ $

il trinomio ha discriminante negativo Δ = -11, non possiamo quindi usare la tecnica di decomposizione.

Usiamo la tecnica del completamento del quadrato.

Per avere 1 come coefficiente della x è necessario che il termine numerico dovrà essere 1/2

$ x^2+x+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 3$

$ (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$ 

$ ⊳ = \int \frac{1}{((x+\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4})} \, dx = ⊳  $

ma questo è un integrale immediato del tipo

$ \int \frac{1}{x^2+m^2} \, dx = \frac{1}{m} arctan{\frac{x}{m}}$

dove $m = \frac{\sqrt{11}}{2}$

$ ⊳ = \frac{2}{\sqrt{11}} arctan (\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{2}}) =$

$ = \frac{2}{\sqrt{11}} arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{11}}) $

CON.

In tutti i libri di analisi c'è l'illustrazione  di come risolvere l'integrale delle funzioni razionali fratte con determinante negativo. Sono formulone alle quali non passo aggiungere nulla.