Integrali

y = x^2 + 1

a > 0

Quindi i punti:

[0, 0] punto A

[a, 0] punto B

[0, a^2 + 1] punto C

[a, a^2 + 1] punto D

sono quelli individuati nella figura seguente:

La parabola taglia il rettangolo formando due zone calcolabili con integrali.

Zona superiore: è data dall'integrale della funzione:

a^2 + 1 - (x^2 + 1) = a^2 - x^2

∫(a^2 - x^2)dx = a^2·x - x^3/3

valutato da x=0 ad x=a

a^2·a - a^3/3 = 2·a^3/3

Zona inferiore: è data dall'integrale della funzione: x^2 + 1

∫(x^2 + 1)dx = x^3/3 + x

valutato da  x= 0  ad x= a

che fornisce a^3/3 + a

Le due zone devono avere la stessa area.

2·a^3/3 = a^3/3 + a

2·a^3 - a·(a^2 + 3) = 0

a^3 - 3·a = 0

a·(a^2 - 3) = 0

a = - √3 ∨ a = √3 ∨ a = 0

In grassetto la soluzione del problema.

i valori delle due aree sono indicati in figura:

2·a^3/3---> 2·√3^3/3= 2·√3= 3.464 circa

Osservazione preliminare. La parabola y = x² + 1 Passa per il vertice (a, a²+1) del rettangolo.

• Area rettangolo. Ar = a*(a² + 1) 
• Imponiamo l'equazione Area sottesa alla parabola eguale a Ar/2

 int (x² + 1) dx from 0 to a = a*(a² + 1) / 2

x³/3 + x | from 0 to a = a*(a² + 1) / 2

a³/3 + a = (a³ + a)/2

a³/3 - a³/2 + a/2 = 0

a(-a²/6 + 1/2) = 0

a(-a² +1) = 0

tre soluzioni:

• a = 0. (da scartare non è positiva)
• a = -√3. (da scartare non è positiva)
• a = √3