Integrali

$ \int \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \, dx = $ 

Semplifichiamoci la vita con una divisione aritmetica

$ = \int 1 dx - 2\int \frac{1}{\sqrt{x} +1} \, dx = $

Il secondo integrale fa venire in mente la derivata

$ D ln(\sqrt{x}+1) = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \; ⇒ \; \frac{1}{\sqrt{x} +1} = 2\sqrt{x}\cdot D(ln(\sqrt{x}+1)) $

per cui

$ = x - 4[\int \sqrt{x} \cdot D(ln(\sqrt{x}+1))] = $ 

a questo punto complichiamoci la vita applicando la formula di integrazione per parti

• fattore finito. $ f(x) = \sqrt{x}  \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
• fattore differ. $ g'(x) = D(ln(\sqrt{x}+1)) \; ⇒ \; g(x) = ln(\sqrt{x}+1)$

per cui

$ = x - 4 \, \sqrt{x}\, ln(\sqrt{x}+1) + 4 \int \frac{1}{2\sqrt{x}} ln(\sqrt{x}+1) \, dx $

$ = x - 4 \, \sqrt{x}\, ln(\sqrt{x}+1) + 4 [(\sqrt{x}+1)ln(\sqrt{x}+1)-\sqrt{x}] + c = $

$ = x - 4 \, \sqrt{x}\, ln(\sqrt{x}+1) + 4\, \sqrt{x}\, ln(\sqrt{x}+1) +4ln(\sqrt{x}+1) - 4\sqrt{x} +c = $ 

$ = x +4 ln(\sqrt{x}+1) - 4\sqrt{x} +c $