Considera la funzione $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$.
Dopo aver determinato per quali valori dei parametri reali $a, b$ e $c$ si ha $f^{\prime}(1)=f^{\prime}(-1)=0$ e $\int_{-1}^1 f(x) d x=4$, calcola $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x^4} . \quad \quad\left\{a=0 ; b=-3 ; c=2 ; \left.\frac{1}{4} \right\rvert\,\right.$
Ditemi se non si legge.
24
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Livello 0
y = x^3 + a·x^2 + b·x + c
Determino a e b imponendo le condizioni sulla derivata prima
y'=dy/dx=3·x^2 + 2·a·x + b
{3·1^2 + 2·a·1 + b = 0
{3·(-1)^2 + 2·a·(-1) + b = 0
quindi:
{2·a + b = -3
{2·a - b = 3
Risolvo ed ottengo: [a = 0 ∧ b = -3]
Quindi:
y = x^3 + 0·x^2 + (-3)·x + c
y = x^3 - 3·x + c
Quindi valuto l'integrale:
∫(x^3 - 3·x + c) dx= x^4/4 - 3·x^2/2 + c·x
tra x=-1 ed x=1
1^4/4 - 3·1^2/2 + c·1 = c - 5/4
(-1)^4/4 - 3·(-1)^2/2 + c·(-1)= -c - 5/4
Quindi deve essere:
c - 5/4 - (-c - 5/4) = 4
2·c = 4----> c = 2
La funzione è:
y = x^3 - 3·x + 2
y = t^3 - 3·t + 2
∫(t^3 - 3·t + 2)dt = t^4/4 - 3·t^2/2 + 2·t
valutato fra t=0 e t=x
è: x^4/4 - 3·x^2/2 + 2·x
Il rapporto:
(x^4/4 - 3·x^2/2 + 2·x)/x^4 = (x^3 - 6·x + 8)/(4·x^3)
Il limite vale:
LIM((x^3 - 6·x + 8)/(4·x^3))=1/4
x---> +∞
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Genius II
