[Risolto] Integrale triplo

Consideriamo la parametrizzazione della sfera:

{$x= \rho sin\phi cos\theta$

{$y= \rho sin\phi sin \theta$

{$z = \rho cos\phi$

con $\rho \in [0,1]$, $\phi \in [0, \pi]$, $\theta \in [0, 2\pi]$ e Jacobiano $J = \rho^2 sin\phi$.

Sostituendo nell'integrale:

$\iiint_V (2x^2+y^2) dxdydz = $

$ \int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi}[2(\rho sin\phi cos\theta)^2 + (\rho sin\phi sin \theta)^2]\rho^2 sin\phi d\rho d\phi d\theta =$

$ \int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} 2\rho^4 sin^3\phi cos^2\theta + \rho^4 sin^3\phi sin^2 \theta d\rho d\phi d\theta = $

$\int_0^1 \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho^4 sin^3\phi(2cos^2\theta + sin^2 \theta) d\rho d\phi d\theta =$

$\int_0^1 \rho^4 \int_0^\pi sin^3\phi \int_0^{2\pi} (2cos^2\theta + sin^2 \theta) d\rho d\phi d\theta $

con semplici calcoli ottieni come risultato $V=4\pi/5$

Noemi