Integrale indefinito per sostituzione

Poiché tan(x) = sin x/cos x, posto:

cos(x) = t,

- sin (x) dx = dt

risolvi l'integrale 

- S [dt/(t³+3t)] = - S [1/(3t) - t/(3*(t²+3))] dt = ...... 

Col fatto che ti ha suggerito la sostituzione dovrebbe essere pura routine.

cos^2(x) = 1/(1 + tg^2(x))

pertanto, posto tg x = t => x = arctg t => dx = 1/(1 + t^2) dt

ti trovi   S t/(3 + 1/(t^2 + 1)) * 1/(1 + t^2) dt =

= S t/(3(1 + t^2) + 1) dt =

= 1/3 S t dt /(1 + t^2 + 1/3) =

= 1/6 S 2t/(t^2 + 4/3) dt =

= 1/6 ln (t^2 + 4/3) + C =

= 1/6 ln ( 4/3 + tg^2(x) ) + C

Con la sostituzione suggerita dalla foto
* tg(x) = t
* cos^2(x) = cos^2(arctg(t)) = 1/(t^2 + 1)
si ha
* dt = dx/cos^2(x) ≡ dx = dt/(t^2 + 1)
* ∫ (tg(x)/(3 + cos^2(x)))*dx =
= ∫ (t/(3 + 1/(t^2 + 1)))*dt/(t^2 + 1) =
= ∫ t*dt/(3*t^2 + 4) =
= (1/3)*∫ t*dt/(t^2 + 4/3)
e questa forma rientra fra gl'integrali tabulati; quarta e terza riga della seconda parte di
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_razionali
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* (1/3)*∫ t*dt/(t^2 + 4/3) = ln(3*t^2 + 4)/6 + c =
= ln(3*tg^2(x) + 4)/6 + c
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NON FIDARTI, DA QUALCHE PARTE HO SMARRONATO. Vedi ai link dei miei controlli
http://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%28tg%28x%29%2F%283--cos%5E2%28x%29%29%29*dx
http://www.wolframalpha.com/input?i=ln%283*tg%5E2%28x%29--4%29%2F6%3D%28ln%28cos%5E2%28x%29--3%29-2*ln%28cos%28x%29%29%29%2F6
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Con la sostituzione dovuta @StefanoPescetto
* cos(x) = t
* cos^2(x) = t^2
* sin(x) = sin(arccos(t)) = √(1 - t^2)
* tg(x) = √(1 - t^2)/t
si ha
* dt = - sin(x)*dx ≡ dx = - dt/√(1 - t^2)
* ∫ (tg(x)/(3 + cos^2(x)))*dx =
= ∫ ((√(1 - t^2)/t)/(3 + t^2))*(- dt/√(1 - t^2)) =
= - ∫ dt/(t^3 + 3*t) =
= - (1/3)*∫ (1/t - t/(t^2 + 3))*dt =
= (1/3)*(∫ t*dt/(t^2 + 3) - ∫ dt/t) =
= ... da qui in poi, vedi tu.