Integrale indefinito

Funzione integranda:

x^2/(1 + 4·x^4)

Riscrivo il denominatore:

1 + 4·x^4 = (2·x^2 + 1)^2 - 4·x^2=

= (2·x^2 + 2·x + 1)·(2·x^2 - 2·x + 1)

Quindi pongo:

x^2/(1 + 4·x^4) =

=Α·x/(2·x^2 + 2·x + 1) + Β·x/(2·x^2 - 2·x + 1)

ottengo:

x^2/(1 + 4·x^4) =

=(2·x^3·(Α + Β) + 2·x^2·(Β - Α) + x·(Α + Β))/((2·x^2 + 2·x + 1)·(2·x^2 - 2·x + 1))

Deve essere:

{2·(Α + Β) = 0

{2·(Β - Α) = 1

{Α + Β = 0

Risolvo ed ottengo:

[Α = - 1/4 ∧ Β = 1/4]

La funzione integranda la riscrivo:

x^2/(1 + 4·x^4) =

=(- 1/4)·x/(2·x^2 + 2·x + 1) + 1/4·x/(2·x^2 - 2·x + 1)=

=- x/(4·(2·x^2 + 2·x + 1)) + x/(4·(2·x^2 - 2·x + 1))

Quindi risolviamo due integrali:

∫(- x/(4·(2·x^2 + 2·x + 1))) dx=

=ATAN(2·x + 1)/8 - LN(2·x^2 + 2·x + 1)/16 + C1

∫(x/(4·(2·x^2 - 2·x + 1))) dx =

=ATAN(2·x - 1)/8 + LN(2·x^2 - 2·x + 1)/16 + C2

Da cui l'integrale indefinito dato dalla loro somma:

ATAN(2·x + 1)/8 - LN(2·x^2 + 2·x + 1)/16 + ATAN(2·x - 1)/8 + LN(2·x^2 - 2·x + 1)/16 + C=

=ATAN(2·x - 1)/8 + ATAN(2·x + 1)/8 + LN((2·x^2 - 2·x + 1)/(2·x^2 + 2·x + 1))/16 + C