Salve, qualcuno saprebbe dirmi se il seguente integrale improprio è svolto correttamente? Grazie in anticipo.
Salve, qualcuno saprebbe dirmi se il seguente integrale improprio è svolto correttamente? Grazie in anticipo.
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Livello 1
Scrivi l'integrale iniziale: non si riesce a leggere quanto hai svolto.
integrale da 0 a inf di (((1-cosx)^(alpha))/(x^3 *log(1+x^(1/2))) dx
L'integrando non é singolare in 1
essendo (1 - cos 1)^a/(1*ln 2)
un numero reale per ogni a.
Le singolarità si riscontrano per a = 0 e a -> +oo
Lo spezziamo in due parti
S_[0,k] (1 - cos x)^a/(x^3 * ln (1 + sqrt(x))) dx +
+ S_[k,+oo] (1 - cos x)^a/(x^3 * ln (1 + sqrt(x)) ) dx
In un intorno di 0, in base ai limiti notevoli
la prima parte si comporta come
S_[0,k] (x^2/2)^a / (x^3 * x^(1/2) ) dx =
= S_[0,k] 1/2^a * x^(2a) : x^(7/2) dx =
= 1/2^a S_[0,k] x^(2a - 7/2) dx =
= 1/2^a * [ x^(2a - 5/2)/(2a - 5/2) ]_[0,k] =
= 1/(2^a * (2a - 5/2)) [ k^(2a - 5/2) - lim_x->0 x^(2a - 5/2) ]
il quale converge se 2a - 5/2 > 0 => a > 5/4
La seconda parte invece coinvolge un intorno di +oo
per cui é approssimabile da
S_[k,+oo] Q^a/(x^3 ln x^1/2) dx essendo 0 <= Q <= 2
che é maggiorato in modulo da S_[k, +oo] 2^a/x^3 dx
il quale converge per ogni a essendo 3 > 1.
Dunque l'intero integrale improprio converge se a > 5/4
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Livello 7