Ho trovato questo integrale
S_[0,1] ln(x)*ln(1 - x^2)/x^2 dx
il cui risultato dovrebbe essere pi^2/4 - ln 4
ma ho incontrato diverse difficoltà nello svolgimento.
Ho fatto prima la sostituzione
ln x = t
x = e^t
dx = e^t dt
x^2 = e^(2t)
se x -> 0, t -> -oo e se x = 1 => t = 0
S_[-oo, 0] t * ln ( 1 - e^(2t) )/e^(2t)* e^t dt =
= S_[-oo,0] t e^(-t) ln ( 1 - e^(2t) ) dt.
Pongo in seguito u = -t => t = -u => dt = - du
-oo diventa +oo e 0 resta 0
S_[+oo,0] (-u e^u) ln (1 - e^(-2u)) (-du) =
= S_[0,+oo] - u e^u * ln (1 - e^(-2u)) du
Questo passaggio é corretto, perché Wolfram mi dà lo stesso risultato
dell'originale.
Adesso procederei per parti osservando che
S -u e^u du = - u e^u - S (-1) e^u du = - u e^u + e^u = (1 - u) e^u
e quindi, prendendo come fattore differenziale - u e^u du
e integrando per parti verrebbe
[ (1 - u) e^u ln (1 - e^(-2u)) ]_[0,+oo] +
- S_[0,+oo] (1 - u) e^u * 1/(1 - e^(-2u))* (-e^(-2u))* (-2) du
Il primo addendo tende a 0 per u->+oo, si dimostra con i limiti notevoli
e quindi resta -1 * 1 * ln ( 1 - 1 ) che tende a +oo.
E' possibile, anzi probabile, che questa singolarità ( limite infinito )
venga cancellata dal secondo addendo, ma di questo non ho saputo
portare a termine lo sviluppo. Lo riorganizzo come
- 2 S_[0,+oo] (1 - u) e^(-u)/(1 - e^(-2u) ) du =
= 2 S_[0,+oo] (u-1)/(e^u - e^(-u)) du =
= 2 S_[0,+oo] (u-1) e^u/(e^(2u) - 1) du
Qui la logica sarebbe integrare ancora per parti prendendo come fattore
finito u - 1 e integrando l'altro termine con la sostituzione
v = e^u, dv = e^u du
che ci porta a S dv/(v^2-1) : questo si decompone in fratti semplici
come 1/2 * (1/(v-1) - 1/(v+1))
e così viene
2(u - 1)* 1/2 [ ln (e^u - 1) - ln (e^u + 1) ]_[0,+oo] +
- 2 S_[0,+oo] 1 * [ ln (e^u - 1) - ln (e^u + 1) ] du
Ora ... gli ultimi due integrali non sono elementari, la funzione
che dà Wolfram ( credo sia un logaritmo integrale ) non la conosco bene,
per cui mi fermo.
Vale la pena di proseguire per questa strada ?
O mi sapete suggerire un'alternativa ?
Grazie.
