[Risolto] Integrale definito

Determiniamo la funzione analitica a tratti illustrata in figura

x < 1 : y = x + 2

1 ≤ x < 3 si riconosce: m = -3

passa per [1, 3]:

y - 3 = - 3·(x - 1)---> y = 6 - 3·x

3 ≤ x < 5 si riconosce: m = 3

passa per [3, -3]:

y + 3 = 3·(x - 3)---> y = 3·x - 12

x ≥ 5 si riconosce: y = 3

Quindi:

y=

{x + 2   per x < 1

{6 - 3·x    per 1 ≤ x < 3

{3·x - 12   per 3 ≤ x < 5

{3   per x ≥ 5

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la funzione integrale sarà anch'essa definita a tratti.

∫(t + 2) dt = x^2/2 + 2·x + 3/2

valutato da t=-1 a t = x

per x=1 si ha:

1^2/2 + 2·1 + 3/2 = 4

quindi il punto: [1, 4] costituisce la condizione iniziale per la componente della funzione integrale del 2° tratto:

∫(6 - 3·t) dt = - 3·x^2/2 + 6·x - 9/2 + c

valutato da t=1 a t=x

per x=1:

- 3·1^2/2 + 6·1 - 9/2 + c = 4-----> c = 4

- 3·x^2/2 + 6·x - 9/2 + 4 = - 3·x^2/2 + 6·x - 1/2

per x=3:

- 3·3^2/2 + 6·3 - 1/2 = 4

quindi il punto: [3, 4] costituisce la condizione iniziale per la componente della funzione integrale del 3° tratto:

∫(3·t - 12) dt = 3·x^2/2 - 12·x + 45/2 + c

valutato da t=3 a t = x

per x=3:

3·3^2/2 - 12·3 + 45/2 + c = 4----> c = 4

3·x^2/2 - 12·x + 45/2 + 4 = 3·x^2/2 - 12·x + 53/2

per x=5

3·5^2/2 - 12·5 + 53/2 = 4

quindi il punto : [5, 4] costituisce la condizione iniziale per la componente della fuzione integrale nell'ultimo tratto:

∫5 dt = 5·x - 25 + c

valutato da t=5 a t = x

per x=5:

5·5 - 25 + c = 4---> c = 4

5·x - 25 + 4= 5·x - 21

F(x)=

{x^2/2 + 2·x + 3/2   per x < 1

{- 3·x^2/2 + 6·x - 1/2    per 1 ≤ x < 3

{3·x^2/2 - 12·x + 53/2    per 3 ≤ x < 5

{5·x - 21  per x ≥ 5

Grafici: